不変部分空間と固有ベクトルの関係
📂線形代数不変部分空間と固有ベクトルの関係
定理
Vを n次元 の ベクトル空間、T:V→Vを 線形変換、W≤Vを T-不変部分空間 とする。v1,…,vkを互いに異なる 固有値 に対応する T の 固有ベクトル とする。もし v1+⋯+vk∈W なら、任意の i に対して vi∈W である。
説明
Wが 部分空間 であるから、vi∈W のとき ∑ivi∈W であることは成り立つ。しかし逆は一般には成り立たない。本定理は vi が固有ベクトルである場合には逆も成り立つことを示す。
証明
数学的帰納法で証明する。
k=1 の場合
自明に v1∈W⟹v1∈W である。
k=m−1 のとき成立すると仮定する
さて k=m のとき、v=v1+⋯vm∈W が成り立つとしよう。すると W は T-不変であるから、
T(v)=T(v1+⋯+vm)=T(v1)+⋯T(vm)=λ1v1+⋯+λmvm∈W
ここで λi は互いに異なる固有値である。しかし（W が部分空間であるので）λmv∈W であり次が成り立つ。
T(v)−λmv=(λ1−λm)v1+⋯+(λm−1−λm)vm−1∈W
すると k=m−1 のとき成立するという仮定により次を得る。
(λ1−λm)v1,…,(λm−1−λm)vm−1∈W⟹v1,…,vm−1∈W
したがって、W は部分空間であるから、次が成り立つ。
vm=v−v1−⋯−vm−1∈W
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