📂線形代数

不変部分空間と固有ベクトルの関係

定理¹

$V$を$n$次元のベクトル空間とし、$T : V \to V$を線形変換とし、$W$を$T$-不変とする。$v_{1}, \dots, v_{k}$を異なる固有値に対応する$T$の固有ベクトルとする。もし$v_{1} + \cdots + v_{k} \in W$ならば、全ての$i$に対して、$v_{i} \in W$が成り立つ。

証明

数学的帰納法で証明する。

• $k=1$の場合

  自明に$v_{1} \in W \implies v_{1} \in W$である。

• $k = m-1$が成立すると仮定

  今、$k = m$であり、$v = v_{1} + \cdots v_{m} \in W$が成り立つとする。なぜなら、$W$が$T$-不変であるから、

  $$ T(v) = T(v_{1} + \dots + v_{m}) = T(v_{1}) + \cdots T(v_{m}) = \lambda_{1}v_{1} + \cdots + \lambda_{m}v_{m} \in W $$

  ここで、$\lambda_{i}$は異なる固有値である。$W$が部分空間であるから（）、$\lambda_{m}v \in W$が成り立ち、次が成り立つ。

  $$ T(v) - \lambda_{m}v = (\lambda_{1} - \lambda_{m})v_{1} + \cdots + (\lambda_{m-1} - \lambda_{m})v_{m-1} \in W $$

  それから、$k=m-1$の時の仮定により、次を得る。

  $$ (\lambda_{1}-\lambda_{m})v_{1}, \dots, (\lambda_{m-1}-\lambda_{m})v_{m-1} \in W \implies v_{1}, \dots, v_{m-1} \in W $$

  したがって、$W$は部分空間であるから、次が成り立つ。

  $$ v_{m} = v - v_{1} - \cdots - v_{m-1} \in W $$

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