📂古典力学

位置に依存する質量：チェーンで繋がれたボールの運動

概要¹

チェーンがついた球が垂直方向に動く場合を考えてみよう。チェーンが十分に長く球が上下に動いて空中に浮かんでいるチェーンの長さが絶えず変わるとしよう。そうすると、球の位置に応じて物体全体の質量が変わることになる。つまり、物体の質量が位置に依存することになる。この運動について分析する。

チェーンがつながった球の運動

質量が$m$の球が上図のようにチェーンにつながっているとしよう。チェーン一つの長さは$1$、質量は$\rho$としよう。問題を簡単に考えるために、チェーンは体積がなく（重なっていなくて）端と端がつながっている状態だとしよう。そうするとこの物体「チェーンがつながった球」の質量は位置に依存する関数になる。$x$を地面から球の底（球とチェーンの接続点）までの距離とすると、チェーンがつながった球の質量は$M(x) = m + \rho x$になる。そうするとこの物体の運動方程式は以下のようになる。

$$ \dfrac{d p}{d t} = F \implies \dfrac{d}{dt}\left[ (m + \rho x)\dot{x} \right] = -mg $$

上の式を不定積分すると、以下を得る。

$$ \begin{equation} m\dot{x} + \rho x \dot{x} = -mgt + C_{1} \end{equation} $$

一方、上記の式の左辺を変えて積分すると、以下を得る。

$$ \dfrac{d}{dt} \left[ mx + \dfrac{\rho x^{2}}{2} \right] = -mgt + C_{1} $$

$$ \begin{equation} \implies mx + \dfrac{\rho x^{2}}{2} = -\dfrac{mg}{2}t^{2} + C_{1}t + C_{2} \end{equation} $$

初期条件を$x(0) = x_{0}$、$\dot{x}(0) = v_{0}$とすると、$(1)$、$(2)$により、2つの定数は以下のようになる。

$$ m v_{0} + \rho x_{0} v_{0} = C_{1} \implies C_{1} = (m + \rho x_{0}) v_{0} $$

$$ m x_{0} + \dfrac{\rho x_{0}^{2}}{2} = C_{2} \implies C_{2} = \left( m + \dfrac{\rho x_{0}}{2} \right) x_{0} $$

最高高度に到達する時間を$t_{\ast}$としよう。そうすると、$\dot{x}(t_{\ast}) = 0$であるため、$(2)$により、

$$ t_{\ast} = \dfrac{C_{1}}{mg} = \dfrac{m + \rho x_{0} v_{0}}{mg} $$

また、最高高度を$x(t_{\ast}) = x_{\ast}$としよう。$(3)$に$t_{\ast}$を代入すると、

$$ m x_{\ast} + \dfrac{\rho x_{\ast}^{2}}{2} = -\dfrac{(m + \rho x_{0})^{2} v_{0}^{2}}{2mg} + \dfrac{(m + \rho x_{0})^{2}v_{0}^{2}}{mg} + \left( m + \dfrac{\rho x_{0}}{2} \right)x_{0} $$

これを$x_{\ast}$に関する2次式で整理すると、

$$ x_{\ast}^{2} + \dfrac{2m}{\rho}x_{\ast} - \left[ \dfrac{(m + \rho x_{0})^{2} v_{0}^{2}}{mg\rho} + \left(\dfrac{2m}{\rho} + x_{0}\right)x_{0} \right] = 0 $$

位置の初期値を地面$x_{0} = 0$とすると、

$$ x_{\ast}^{2} + \dfrac{2m}{\rho}x_{\ast} - \dfrac{m v_{0}^{2}}{g \rho} = 0 $$

根の公式で$x_{\ast}$の値を計算すると、$x_{\ast} \lt 0$の場合を除いて、以下のようになる。 $$ x_{\ast} = -\dfrac{m}{\rho} + \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{4m}{\rho}\left( \dfrac{m}{\rho} + \dfrac{v_{0}^{2}}{g}\right)} $$

質量が一定の球の垂直運動の場合、最高高度が$x_{\ast} = \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$であることに比べて、かなり複雑に表される。

参照

• 可変質量系の運動方程式