📂線形代数

線形変換の固有空間と幾何的重複度

定義¹

$V$と$n$を次元ベクトル空間、$T : V \to V$を線形変換としよう。$\lambda$を$T$の固有値とする。以下のように定義された集合$E_{\lambda}$を固有値$\lambda$に対応する$T$の固有空間^eigenspaceという。

$$E_{\lambda} = V_{\lambda} := \left\{ x \in V : Tx = \lambda x \right\} = N(T - \lambda I)$$

この場合、$N$は零空間だ。

同様に、正方行列$A$の固有空間とは、$L_{A}$の固有空間として定義される。

説明

固有ベクトルになる条件にはゼロベクトルでないという条件が必要だが、$E_{\lambda}$の定義には$x$が固有ベクトルである必要は特にない。したがって、$E_{\lambda}$は固有値$\lambda$に対応する固有ベクトルとゼロベクトルの集合である。$E_{\lambda}$が部分空間になるためには、ゼロベクトルが存在する必要があることに注意しよう。実際、$T$が線形変換であるため、加法とスカラー乗法について閉じている(部分空間の判定法)ことは自明である。$x, y \in E_{\lambda}$とすると、

$$T(ax + y) = aT(x) + T(y) = a\lambda x + \lambda y = \lambda (ax + y)$$

よって、$ax + y \in E_{\lambda}$が成り立つ。

幾何的重複度

固有値$\lambda$に対応する固有空間$E_{\lambda}$の次元を$\lambda$の幾何的重複度^{geometric multiplicity}という。

つまり、$\lambda$に対応する線形独立な固有ベクトルの数であり、したがって、少なくとも$1$以上の整数となる。最大値は代数的重複度に関連している。

定理

$T$の固有値$\lambda$の代数的重複度を$m$とする。代数的重複度は幾何的重複度以上である。

$$1 \le \dim E_{\lambda} \le m$$

証明

$E_{\lambda}$の順序基底を$\gamma = \left\{ v_{1}, \dots, v_{p} \right\}$とする。拡張された$V$の順序基底を$\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{p}, v_{p+1}, \dots, v_{n} \right\}$とする。$T$の行列表現を$A = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$とする。すると、$A$は以下のブロック行列である。

$$A = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{E_{\lambda}} \end{bmatrix}_{\gamma} & B \\ O_{n-p} & C \end{bmatrix}$$

$O_{n-p}$は$n-p \times n-p$零行列だ。この場合、$1 \le i \le p$について、$Tv_{i} = \lambda v_{i}$なので、$Tv_{i}$の座標ベクトルは以下の通りである。

$$\begin{bmatrix} Tv_{i} \end{bmatrix}_{\gamma} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ \lambda \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}i\text{-th row}$$

したがって、$\begin{bmatrix} T|_{E_{\lambda}} \end{bmatrix}_{\gamma} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} Tv_{1} \end{bmatrix}_{\gamma} & \cdots & \begin{bmatrix} Tv_{p} \end{bmatrix}_{\gamma} \end{bmatrix}$なので、

$$A = \begin{bmatrix} \lambda I_{p} & B \\ O & C \end{bmatrix}$$

$I_{p}$は$p \times p$単位行列だ。

ブロック行列の行列式

$A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}$をブロック行列とする。すると、以下が成り立つ。

$$\det A = \det A_{1} \det A_{3}$$

したがって、$T$の特性多項式は以下の通りである。

$$\begin{align*} f(t) = \det (A - t I_{n}) &= \det \begin{bmatrix} \lambda I_{p} - \lambda I_{p} & B \\ O & C - tI_{n-p} \end{bmatrix} \\ & = \det \left( (\lambda - t)I_{p} \right) \det \left( C - tI_{n-p} \right) \\ & = (\lambda - t)^{p} \det \left( C - tI_{n-p} \right) \\ & = (-1)^{p}(t - \lambda)^{p} \det \left( C - tI_{n-p} \right) \\ \end{align*}$$

これを見ると、$(t - \lambda)^{p}$が特性多項式$f(t)$の因数であることがわかる。したがって、$f(t)$は少なくとも$\lambda$を$p$重根として持ち、代数的重複度の定義により、代数的重複度は幾何的重複度以上となる。

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