可変質量系の運動方程式
📂古典力学可変質量系の運動方程式
概要
物理では、多くの状況で質量を固定された定数として扱うことが多い。しかし、そうでない場合も多い。例えば、落ちる雨粒は、大気中の小さな水滴を吸収して質量が増加する。ロケットは燃料を燃やして噴出されるガスによって加速されるが、この時燃料が消費されるため、ロケットの質量は減少する。
公式
質量が増加しながら動く物体
物体が動きながら質量が増加する場合を考えよう。下の図のように、質量が大きい物体が小さな粒と衝突しながら、小さな粒が物体にくっつくと仮定しよう。

tの時の物体の質量と速度をそれぞれm(t),v(t)としよう。小さな粒の速度をu(t)としよう。小さな時間間隔Δt後に物体が得た質量をΔmとしよう。すると、Δt時間後の物体の質量はm(t+Δt)=m(t)+Δmで、速度はv(t+Δt)=v(t)+Δvだ。系の運動量をpとしよう。すると、
p(t)p(t+Δt)=mv+Δmu=m(t+Δt)v(t+Δt)=(m(t)+Δm)(v(t)+Δv)
ここで、Δt間の運動量の変化量は次のようになる。
Δp=(m+Δm)(v+Δv)−(mv+Δmu)=mv+mΔv+Δmv+ΔmΔv−mv−Δmu=(m+Δm)Δv+Δm(v−u)
ここで、小さな粒の物体に対する相対速度をV=u−vとすると、
Δp=(m+Δm)Δv−VΔm
今、両辺をΔtで割って、Δt→0の極限を取ると、次を得る。
Fext=dtdp=mv˙−Vm˙
ここで、Fextは重力、空気抵抗などの外力を表す。
小さな粒が静止している場合を考えよう。例えば、ある物体が霧の中を動く時、霧の中の水滴が静止しているとする。これは一般的に良い近似となる。すると、V=−vで、運動方程式は次のようになる。
Fext=mv˙+vm˙
質量が減少しながら動く物体
上の結果と変わらない。ただし、この場合は質量が減少しているため、変化量は負でなければならない。
Δm<0andm˙<0
参照