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可変質量系の運動方程式 📂古典力学

可変質量系の運動方程式

概要1

物理では、多くの状況で質量を固定された定数として扱うことが多い。しかし、そうでない場合も多い。例えば、落ちる雨粒は、大気中の小さな水滴を吸収して質量が増加する。ロケットは燃料を燃やして噴出されるガスによって加速されるが、この時燃料が消費されるため、ロケットの質量は減少する。

公式

質量が増加しながら動く物体

物体が動きながら質量が増加する場合を考えよう。下の図のように、質量が大きい物体が小さな粒と衝突しながら、小さな粒が物体にくっつくと仮定しよう。

slide1.png

ttの時の物体の質量と速度をそれぞれm(t),v(t)m(t), \mathbf{v}(t)としよう。小さな粒の速度をu(t)\mathbf{u}(t)としよう。小さな時間間隔Δt\Delta t後に物体が得た質量をΔm\Delta mとしよう。すると、Δt\Delta t時間後の物体の質量はm(t+Δt)=m(t)+Δmm(t + \Delta t) = m(t) + \Delta mで、速度はv(t+Δt)=v(t)+Δv\mathbf{v}(t + \Delta t) = v(t) + \Delta \mathbf{v}だ。系の運動量p\mathbf{p}としよう。すると、

p(t)=mv+Δmup(t+Δt)=m(t+Δt)v(t+Δt)=(m(t)+Δm)(v(t)+Δv) \begin{align*} \mathbf{p}(t) &= m \mathbf{v} + \Delta m \mathbf{u} \\ \mathbf{p}(t + \Delta t) &= m(t + \Delta t) \mathbf{v}(t + \Delta t) = \left( m(t) + \Delta m \right) \left( \mathbf{v}(t) + \Delta \mathbf{v} \right) \end{align*}

ここで、Δt\Delta t間の運動量の変化量は次のようになる。

Δp=(m+Δm)(v+Δv)(mv+Δmu)=mv+mΔv+Δmv+ΔmΔvmvΔmu=(m+Δm)Δv+Δm(vu) \begin{align*} \Delta \mathbf{p} &= \left( m + \Delta m \right) \left( \mathbf{v} + \Delta \mathbf{v} \right) - \left( m \mathbf{v} + \Delta m \mathbf{u} \right) \\ &= m \mathbf{v} + m\Delta \mathbf{v} + \Delta m \mathbf{v} + \Delta m \Delta \mathbf{v} - m \mathbf{v} - \Delta m \mathbf{u} \\ &= (m + \Delta m) \Delta \mathbf{v} + \Delta m (\mathbf{v} - \mathbf{u}) \\ \end{align*}

ここで、小さな粒の物体に対する相対速度をV=uv\mathbf{V} = \mathbf{u} - \mathbf{v}とすると、

Δp=(m+Δm)ΔvVΔm \Delta \mathbf{p} = (m + \Delta m) \Delta \mathbf{v} - \mathbf{V}\Delta m

今、両辺をΔt\Delta tで割って、Δt0\Delta t \to 0の極限を取ると、次を得る。

Fext=dpdt=mv˙Vm˙ \mathbf{F}_{\text{ext}} = \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} = m \dot{\mathbf{v}} - \mathbf{V}\dot{m}

ここで、Fext\mathbf{F}_{\text{ext}}は重力、空気抵抗などの外力を表す。

小さな粒が静止している場合を考えよう。例えば、ある物体が霧の中を動く時、霧の中の水滴が静止しているとする。これは一般的に良い近似となる。すると、V=v\mathbf{V} = - \mathbf{v}で、運動方程式は次のようになる。

Fext=mv˙+vm˙ \mathbf{F}_{\text{ext}} = m \dot{\mathbf{v}} + \mathbf{v}\dot{m}

質量が減少しながら動く物体

上の結果と変わらない。ただし、この場合は質量が減少しているため、変化量は負でなければならない。

Δm<0andm˙<0 \Delta m \lt 0 \quad \text{and} \quad \dot{m} \lt 0

参照


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p312-313 ↩︎