微分可能マニホールド上の微分可能な実数値関数の集合 📂幾何学

微分可能マニホールド上の微分可能な実数値関数の集合

定義¹

$M$ を微分多様体とする。点 $p \in M$ での微分可能な関数 $f : M \to \mathbb{R}$ の集合を $\mathcal{D}$ と表記する。

$\mathcal{D} := \left\{ \text{all real-valued functions on } M \text{ that are differentialable at } p \right\}$

$M$ 上での微分可能な関数 $f : M \to \mathbb{R}$ の集合を $\mathcal{D}(M)$ と表記する。

$\mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\}$

$\mathcal{D}(M)$ での加法と乗法を点ごとに定義すれば、 $\mathcal{D}(M)$ は環になる。

$\begin{align*} (f + g)(p) &= f(p) + g(p) \\ (fg)(p) &= f(p)g(p) \end{align*} \qquad \forall f, g \in \mathcal{D}(M)$

$f, g$ の値域が $\mathbb{R}$ であるため、 $f(p) + g(p)$ 、 $f(p)g(p)$ は実数の加法、乗法としてよく定義される。