微分可能マニホールド上の微分可能な実数値関数の集合 📂幾何学

微分可能マニホールド上の微分可能な実数値関数の集合

定義¹

$M$を微分多様体とする。点$p \in M$での微分可能な関数$f : M \to \mathbb{R}$の集合を$\mathcal{D}$と表記する。

$$ \mathcal{D} := \left\{ \text{all real-valued functions on } M \text{ that are differentialable at } p \right\} $$

$M$上での微分可能な関数$f : M \to \mathbb{R}$の集合を$\mathcal{D}(M)$と表記する。

$$ \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\} $$

$\mathcal{D}(M)$での加法と乗法を点ごとに定義すれば、$\mathcal{D}(M)$は環になる。

$$ \begin{align*} (f + g)(p) &= f(p) + g(p) \\ (fg)(p) &= f(p)g(p) \end{align*} \qquad \forall f, g \in \mathcal{D}(M) $$

$f, g$の値域が$\mathbb{R}$であるため、$f(p) + g(p)$、$f(p)g(p)$は実数の加法、乗法としてよく定義される。