微分多様体のスカラー曲率
📂幾何学微分多様体のスカラー曲率
定義
リース表現定理
(H,⟨⋅,⋅⟩)が内積空間だとしよう。H上の線形汎関数 f∈H∗とx∈Hに対して、f(x)=⟨w,x⟩を満たすw∈Hが唯一存在する。
Mを微分多様体だとしよう。TpMを点p∈Mでの接ベクトル空間としよう。固定されたX∈TpMに対してTpMの線形汎関数 Ric(X,⋅)を考える。この時Ricはリッチ曲率である。すると、リース表現定理により、YとRicに対して以下を満たすZが唯一存在する。
Ric(X,Y)=g(Z,Y)
これから、このようなX,Zに対してK:Tp→TpMを以下のように定義しよう。
K(X)=Z
すると、
Ric(X,Y)=g(K(X),Y)
そして、点pでのスカラー曲率scalar curvature K:M→R by K(p)=Kpを以下のように定義する。
Kp=Trace of K
説明
{Xi=∂xi∂}をTpMの基底だとしよう。すると、トレースの内積表現により、
Kp=tr(K)=g(K(Xi),Xj)gij=Ric(Xi,Xj)gij=Rikjkgij
この時Rikjk=Rikjsδsk=Rikjsgslglk=Rikjlglkであるから、
Kp=Rikjkgij=Rikjlglkgij
したがって、リッチ曲率がリーマン曲率の第二、第四成分の平均であるように、スカラー曲率はリーマン曲率のすべての成分に対する平均である。特に{Zi}をTpMの正規直交基底とすれば、gij=δijであるから
Kp=Ric(Zi,Zj)δij=Ric(Zi,Zi)=R(Zi,Zj,Zi,Zj)
が成立し、これは断面曲率 K(Zi,Zj)の平均と同じである。