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微分多様体のスカラー曲率 📂幾何学

微分多様体のスカラー曲率

定義1

リース表現定理

(H,,)\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)内積空間だとしよう。HH上の線形汎関数 fHf \in H^{ \ast }xH\mathbf{x} \in Hに対して、f(x)=w,xf ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{x} \right\rangleを満たすwH\mathbf{w} \in Hが唯一存在する。

MM微分多様体だとしよう。TpMT_{p}Mを点pMp\in Mでの接ベクトル空間としよう。固定されたXTpMX \in T_{p}Mに対してTpMT_{p}M線形汎関数 Ric(X,)\Ric(X, \cdot)を考える。この時Ric\Ricリッチ曲率である。すると、リース表現定理により、YYRic\Ricに対して以下を満たすZZが唯一存在する。

Ric(X,Y)=g(Z,Y) \Ric (X, Y) = g\left( Z, Y \right)

これから、このようなX,ZX, Zに対してK:TpTpMK : T_{p} \to T_{p}Mを以下のように定義しよう。

K(X)=Z K(X) = Z

すると、

Ric(X,Y)=g(K(X),Y) \Ric (X, Y) = g\left( K(X), Y \right)

そして、点ppでのスカラー曲率scalar curvature K:MR by K(p)=KpK : M \to \mathbb{R} \text{ by } K(p) = K_{p}を以下のように定義する。

Kp=Trace of K K_{p} = \text{Trace of } K

説明

{Xi=xi}\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right\}TpMT_{p}Mの基底だとしよう。すると、トレースの内積表現により、

Kp=tr(K)=g(K(Xi),Xj)gij=Ric(Xi,Xj)gij=Rikjkgij K_{p} = \tr(K) = g(K(X_{i}), X_{j})g^{ij} = \Ric (X_{i}, X_{j}) g^{ij} = R_{ikj}^{k}g^{ij}

この時Rikjk=Rikjsδsk=Rikjsgslglk=RikjlglkR_{ikj}^{k} = R_{ikj}^{s}\delta_{s}^{k} = R_{ikj}^{s}g_{sl}g^{lk} = R_{ikjl}g^{lk}であるから

Kp=Rikjkgij=Rikjlglkgij K_{p} = R_{ikj}^{k}g^{ij} = R_{ikjl}g^{lk}g^{ij}

したがって、リッチ曲率がリーマン曲率の第二、第四成分の平均であるように、スカラー曲率はリーマン曲率のすべての成分に対する平均である。特に{Zi}\left\{ Z_{i} \right\}TpMT_{p}Mの正規直交基底とすれば、gij=δijg^{ij} = \delta_{ij}であるから

Kp=Ric(Zi,Zj)δij=Ric(Zi,Zi)=R(Zi,Zj,Zi,Zj) K_{p} = \Ric(Z_{i}, Z_{j})\delta_{ij} = \Ric(Z_{i}, Z_{i}) = R(Z_{i}, Z_{j}, Z_{i}, Z_{j})

が成立し、これは断面曲率 K(Zi,Zj)K(Z_{i}, Z_{j})の平均と同じである。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p97-98 ↩︎