行列空間
定義
体 $F$に対して、要素が$F$の元である$m \times n$行列の集合を$M_{m \times n}(F)$としよう。
$$ M_{m \times n}(F) := \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} : a_{ij} \in F \right\} $$
すると、行列の加算とスカラー乗算に対して、$M_{m \times n}(F)$は$F$-ベクトル空間である。
説明
同じサイズの行列の集まりは、それ自体がベクトル空間になる。数を一列に並べると順序対(ベクトル)になり、矩形に並べると行列になるので、これは当然のことかもしれない。
部分空間
ゼロトレース行列
トレースが$0$である行列をゼロトレース行列zero trace matrixと呼ぼう。
すべての$n \times n$ゼロトレース行列の集合$W$は、$M_{n \times n}$の$n^{2}-1$次元部分空間である。$W$の次元が$n^{2}-1$であることは簡単に確認できる。例えば、$3 \times 3$の場合を考えると、$W$は次のようになる。
$$ W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & -(a+e) \end{bmatrix} \right\} $$
したがって、$W$は次の集合によって生成され、$W$の次元は$3^{2}-1 = 8$である。
$$ \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right\} $$
上三角行列
すべての$n \times n$上三角行列の集合を$W$としよう。すると、$W$は$M_{n \times n}$の$\sum\limits_{k=1}^{n}k$次元部分空間である。例えば、$3 \times 3$の場合、
$$ W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix} \right\} $$
これを生成する集合は次の通りで、$W$の次元は$1 + 2 + 3 = 6$である。
$$ \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\} $$