微分可能多様体のリッチ曲率
定義1
微分可能多様体 $M$と点$p \in M$における接空間 $T_{p}M$が与えられたとする。関数$f$を以下のようにする。与えられた$X, Y \in T_{p}M$に対して、
$$ \begin{align*} f : T_{p}M &\to T_{p}M \\ Z &\mapsto R(X,Z)Y \end{align*} $$
この時、$R$はリーマン曲率である。すると、点$p$でのリッチ曲率Ricci curvature $\Ric : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}$は次のように定義される。
$$ \Ric (X,Y) = \Ric_{p} (X,Y) := \tr f = \tr \left( Z \mapsto R(X,Z)Y \right) $$
この時、$\tr$は線形変換のトレースである。
説明
$\Ric$は定義によって双線型であるため、基底に関する値さえ分かっていればよい。$\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right\}$を$T_{p}M$の基底とする。すると、トレースの内積表現により、
$$ \Ric (X_{i}, X_{j}) = \tr (Z \mapsto R(X_{i}, Z)X_{j}) = g\left( R(X_{i}, X_{k})X_{j}, X_{l}\right)g^{kl} $$
前の内積は$R_{ikjl}$と表記される。 従って、
$$ \Ric (X_{i}, X_{j}) = R_{ikjl}g^{kl} = R_{ikj}^{s}g_{sl}g^{kl} = R_{ikj}^{s}\delta_{s}^{k} = R_{ikj}^{k} $$
この時、$R_{ijkl} = R_{ijk}^{s}g_{sl}$であるため、リッチ曲率 $\Ric (X_{i}, X_{j}) = R_{ikj}^{k}$はリーマン曲率 $R_{ijkl}$の第二と第四の成分に対して平均を取る意味を持つ。
$$ R_{ijkl}g^{lj} = R_{ijk}^{s}g_{sl}g^{lj} = R_{ijk}^{s}\delta_{s}^{j} = R_{ijk}^{j} $$
$\left\{ Z_{i} \right\}$が$T_{p}M$の正規直交基底とみなされる場合、$g^{kl} = \delta_{kl}$であるため、
$$ \Ric (X, Y) = g\left( R(X, Z_{k})Y, Z_{l}\right)\delta_{kl} = g\left( R(X, Z_{k})Y, Z_{k}\right) = R(X, Z_{k}, Y, Z_{k}),\quad X, Y \in T_{p}M $$
また、$\Ric (X) := \Ric (X, X)$を点$p$での$X$方向のリッチ曲率Ricci curvature in the direction of $X$ at $p$と呼ぶ。