冪零行列
定義1
$n \times n$ 行列 $A$に対して、$A^{k} = O$を満足する正の数$k$が存在すれば、$A$を冪零nilpotentという。このとき、$O$は$n \times n$ 零行列である。
説明
nilは「零」あるいは「無」を意味する。potentの意味は「有力な」であり、potentialの語幹である。したがってnilpotentという言葉は「$0$になる可能性/潜在力があるもの」と受け取れば良い。「冪」は数学で累乗を意味し、「零」は数字$0$を指す。したがって冪零という言葉は文字通り「累乗して零になる」という意味である。
定理
- [2]: 正方行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$のすべての固有値が$0$であることと、$A$が冪零行列であることは同値である。
- したがって冪零行列には逆行列が存在しない。
証明
1
[2]
$(\implies)$ 2
$A$は正方行列であるためシュア分解が存在し、あるユニタリ行列 $Q$と上三角行列 $T$に対して$A = Q T Q^{\ast}$のように表せる。$A$のすべての固有値が$0$であるため、$T$は対角成分がすべて$0$である順三角行列であり、正方順三角行列は冪零行列であるため$T$はある$k \in \mathbb{N}$に対して$T^{k} = O$の冪零行列である。すると少なくとも$k$に対して$A^{k} = Q T^{k} Q^{*} = O$であるため$A$も冪零行列である。
$(\impliedby)$ 3
零ベクトルを$\mathbf{0}$のように表す。
$$
\exists k \in \mathbb{N} : A^{k} = O
$$
冪零行列$A$のある固有値$\lambda$とそれに対応する固有ベクトルを$\mathbf{v}$とすると、$\lambda \mathbf{v} = A \mathbf{v}$のように置ける。両辺に$A$を引き続き掛けると、$k$に対して次が成立する。
$$
\lambda^{k} \mathbf{v} = A^{k} \mathbf{v} = O \mathbf{v} = \mathbf{0}
$$
これはすべての固有ベクトル$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$に対して常に成立しなければならないため、$A$のすべての固有値は$\lambda = 0$である。
■
3
証明は省略する4。
参照
Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p229 ↩︎