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パラメータ化された曲面 📂幾何学

パラメータ化された曲面

定義1

  • 開集合U⊂R2U \subset \mathbb{R}^{2}に対して、連結集合A⊂R2A\subset \mathbb{R}^{2}が以下を満たすとする。

    U⊂A⊂U‾and∂A is piecewise differentiable U \subset A \subset \overline{U} \quad \text{and} \quad \partial A \text{ is piecewise differentiable}

    s:A→Ms : A \to Mを微分多様体MM内のパラメータ化された曲面parameterized surface in MMという。

  • ssに沿ったベクトル場VVvector field VV along ssとは、それぞれのq∈Aq \in AをV(q)∈Ts(q)MV(q) \in T_{s(q)}Mへマッピングし、以下のセンスで微分可能な関数である:

    もしffがMM上で微分可能な関数なら、関数q∈A↦V(q)f∈Rq \in A \mapsto V(q)f \in \mathbb{R}も微分可能である。

説明

(u,v)(u, v)をR2\mathbb{R}^{2}上のデカルト座標とする。固定されたv0v_{0}に対して、関数u↦s(u,v0)u \mapsto s(u,v_{0})はMM上の曲線である。R2\mathbb{R}^{2}上の接空間の標準基底を考えると{∂∂u,∂∂v}\left\{ \frac{\partial }{\partial u}, \frac{\partial }{\partial v} \right\}である。ssの微分であるdsdsの関数値ds(∂∂u)ds(\frac{\partial }{\partial u})を簡単に

∂s∂u \dfrac{\partial s}{\partial u}

と表記しよう。そうすると∂s∂u\dfrac{\partial s}{\partial u}は曲線u↦s(u,v0)u \mapsto s(u,v_{0})に沿ったベクトル場である。∂s∂v\dfrac{\partial s}{\partial v}も同じ方法で定義されるssに沿ったベクトル場である。微分幾何では、座標片写像に対しても同様のものを考える。

ssに沿ったベクトル場VVを考えよう。今、このVVの共変微分DV∂u\dfrac{D V}{\partial u}、DV∂v\dfrac{D V}{\partial v}を定義する。曲線u↦s(u,v0)u \mapsto s(u, v_{0})上へのVVの縮約写像を考えよう。そうするとDVdu(u,v0)\dfrac{DV}{du}(u,v_{0})をこの縮約写像の共変微分として定義できる。これを全てのv0v_{0}に対して考えることができるので、DV∂u(u,v)\dfrac{DV}{\partial u}(u, v)が全ての(u,v)∈A(u,v) \in Aに対して定義される。DV∂v\dfrac{D V}{\partial v}も同じ方法で定義される。

対称性

MMが対称接続を持つ微分多様体であり、s:A→Ms : A \to Mがパラメータ化された曲面である場合、以下が成り立つ。

D∂v∂s∂u=D∂u∂s∂v \dfrac{D}{\partial v}\dfrac{\partial s}{\partial u} = \dfrac{D}{\partial u}\dfrac{\partial s}{\partial v}

証明

x:U⊂Rn→M\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to Mをs(A)s(A)の点の近傍を含む座標系とする。言い換えるとs(A)⊂x(U)s(A) \subset \mathbf{x}(U)になるように座標系を選んだのだ。そうするとx−1∘s(u,v)\mathbf{x}^{-1} \circ s(u,v)はRn\mathbb{R}^{n}の点であり、以下のように表記しよう。

x−1∘s(u,v)=(s1(u,v),…,sn(u,v)) \mathbf{x}^{-1} \circ s (u,v) = \left( s^{1}(u,v), \dots, s^{n}(u,v) \right)

また、s:A→Ms : A \to Mでありssの微分はds:T(u,v)A→Ts(u,v)Mds : T_{(u,v)}A \to T_{s(u,v)}Mである。AAの座標は(u,v)(u, v)であり、MMの座標はx−1=(s1,…,sn)\mathbf{x}^{-1} = \left( s^{1}, \dots, s^{n} \right)なので、

ds=[∂s1∂u∂s1∂v⋮∂sn∂u∂sn∂v] ds = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{1}}{\partial v} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{n}}{\partial v} \end{bmatrix}

T(u,v)AT_{(u,v)}Aの基底は、{∂∂u,∂∂v}\left\{ \dfrac{\partial }{\partial u}, \dfrac{\partial }{\partial v} \right\}の座標ベクトルは[10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}である。従って、

∂s∂u=ds(∂∂u)=[∂s1∂u∂s1∂v⋮⋮∂sn∂u∂sn∂v][10]=[∂s1∂u⋮∂sn∂u]=∑i∂si∂u∂∂xi \dfrac{\partial s}{\partial u} = ds(\dfrac{\partial }{\partial u}) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{1}}{\partial v} \\ \vdots & \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{n}}{\partial v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} \end{bmatrix} = \sum_{i} \dfrac{\partial s^{i}}{\partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}

今、D∂v(∂s∂u)\dfrac{D }{\partial v}\left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right)を計算してみると、共変微分の性質によって、

D∂v(∂s∂u)=D∂v(∑j∂sj∂u∂∂xj)=∑j∂2sj∂v∂u∂∂xj+∑j∂sj∂uD∂v∂∂xj=∑j∂2sj∂v∂u∂∂xj+∑i,j∂sj∂u∇∂s/∂u∂∂xj=∑j∂2sj∂v∂u∂∂xj+∑i,j∂sj∂u∇∂si∂u∂∂xi∂∂xj=∑j∂2sj∂v∂u∂∂xj+∑i,j∂sj∂u∂si∂u∇∂∂xi∂∂xj=∑k∂2sk∂v∂u∂∂xk+∑i,j,k∂sj∂u∂si∂uΓijk∂∂xk \begin{align*} \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) &= \dfrac{D }{\partial v} \left( \sum_{j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u}\dfrac{D }{\partial v}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \nabla_{{\partial s}/{\partial u}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \nabla_{\frac{\partial s^{i}}{\partial u}\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \frac{\partial s^{i}}{\partial u}\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{k} \dfrac{\partial^{2} s^{k}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \frac{\partial s^{i}}{\partial u}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*}

同様にD∂u(∂s∂v)\dfrac{D }{\partial u}\left( \dfrac{\partial s}{\partial v} \right)は

D∂v(∂s∂u)=∑k∂2sk∂u∂v∂∂xk+∑i,j,k∂sj∂v∂si∂vΓijk∂∂xk \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) = \sum_{k} \dfrac{\partial^{2} s^{k}}{\partial u \partial v}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial v} \frac{\partial s^{i}}{\partial v}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

この時点でsk:R2→Rs^{k} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}である微分可能な関数なので、∂2∂u∂v=∂2∂v∂u\dfrac{\partial ^{2}}{\partial u \partial v} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial v \partial u}である。従って、

D∂v(∂s∂u)=D∂v(∂s∂u) \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) = \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right)

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  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p67-68 ↩︎