📂幾何学

パラメータ化された曲面

定義¹

• 開集合$U \subset \mathbb{R}^{2}$に対して、連結集合$A\subset \mathbb{R}^{2}$が以下を満たすとする。

  $$ U \subset A \subset \overline{U} \quad \text{and} \quad \partial A \text{ is piecewise differentiable} $$

  $s : A \to M$を微分多様体$M$内のパラメータ化された曲面^{parameterized surface in $M$}という。

• $s$に沿ったベクトル場$V$^{vector field $V$ along $s$}とは、それぞれの$q \in A$を$V(q) \in T_{s(q)}M$へマッピングし、以下のセンスで微分可能な関数である:

  もし$f$が$M$上で微分可能な関数なら、関数$q \in A \mapsto V(q)f \in \mathbb{R}$も微分可能である。

説明

$(u, v)$を$\mathbb{R}^{2}$上のデカルト座標とする。固定された$v_{0}$に対して、関数$u \mapsto s(u,v_{0})$は$M$上の曲線である。$\mathbb{R}^{2}$上の接空間の標準基底を考えると$\left\{ \frac{\partial }{\partial u}, \frac{\partial }{\partial v} \right\}$である。$s$の微分である$ds$の関数値$ds(\frac{\partial }{\partial u})$を簡単に

$$ \dfrac{\partial s}{\partial u} $$

と表記しよう。そうすると$\dfrac{\partial s}{\partial u}$は曲線$u \mapsto s(u,v_{0})$に沿ったベクトル場である。$\dfrac{\partial s}{\partial v}$も同じ方法で定義される$s$に沿ったベクトル場である。微分幾何では、座標片写像に対しても同様のものを考える。

$s$に沿ったベクトル場$V$を考えよう。今、この$V$の共変微分$\dfrac{D V}{\partial u}$、$\dfrac{D V}{\partial v}$を定義する。曲線$u \mapsto s(u, v_{0})$上への$V$の縮約写像を考えよう。そうすると$\dfrac{DV}{du}(u,v_{0})$をこの縮約写像の共変微分として定義できる。これを全ての$v_{0}$に対して考えることができるので、$\dfrac{DV}{\partial u}(u, v)$が全ての$(u,v) \in A$に対して定義される。$\dfrac{D V}{\partial v}$も同じ方法で定義される。

対称性

$M$が対称接続を持つ微分多様体であり、$s : A \to M$がパラメータ化された曲面である場合、以下が成り立つ。

$$ \dfrac{D}{\partial v}\dfrac{\partial s}{\partial u} = \dfrac{D}{\partial u}\dfrac{\partial s}{\partial v} $$

証明

$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$を$s(A)$の点の近傍を含む座標系とする。言い換えると$s(A) \subset \mathbf{x}(U)$になるように座標系を選んだのだ。そうすると$\mathbf{x}^{-1} \circ s(u,v)$は$\mathbb{R}^{n}$の点であり、以下のように表記しよう。

$$ \mathbf{x}^{-1} \circ s (u,v) = \left( s^{1}(u,v), \dots, s^{n}(u,v) \right) $$

また、$s : A \to M$であり$s$の微分は$ds : T_{(u,v)}A \to T_{s(u,v)}M$である。$A$の座標は$(u, v)$であり、$M$の座標は$\mathbf{x}^{-1} = \left( s^{1}, \dots, s^{n} \right)$なので、

$$ ds = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{1}}{\partial v} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{n}}{\partial v} \end{bmatrix} $$

$T_{(u,v)}A$の基底は、$\left\{ \dfrac{\partial }{\partial u}, \dfrac{\partial }{\partial v} \right\}$の座標ベクトルは$\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}$である。従って、

$$ \dfrac{\partial s}{\partial u} = ds(\dfrac{\partial }{\partial u}) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{1}}{\partial v} \\ \vdots & \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} & \dfrac{\partial s^{n}}{\partial v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s^{1}}{\partial u} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial s^{n}}{\partial u} \end{bmatrix} = \sum_{i} \dfrac{\partial s^{i}}{\partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} $$

今、$\dfrac{D }{\partial v}\left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right)$を計算してみると、共変微分の性質によって、

$$ \begin{align*} \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) &= \dfrac{D }{\partial v} \left( \sum_{j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u}\dfrac{D }{\partial v}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \nabla_{{\partial s}/{\partial u}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \nabla_{\frac{\partial s^{i}}{\partial u}\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{j} \dfrac{\partial^{2} s^{j}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \frac{\partial s^{i}}{\partial u}\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ &= \sum_{k} \dfrac{\partial^{2} s^{k}}{\partial v \partial u}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial u} \frac{\partial s^{i}}{\partial u}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*} $$

同様に$\dfrac{D }{\partial u}\left( \dfrac{\partial s}{\partial v} \right)$は

$$ \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) = \sum_{k} \dfrac{\partial^{2} s^{k}}{\partial u \partial v}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} \dfrac{\partial s^{j}}{\partial v} \frac{\partial s^{i}}{\partial v}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

この時点で$s^{k} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$である微分可能な関数なので、$\dfrac{\partial ^{2}}{\partial u \partial v} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial v \partial u}$である。従って、

$$ \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) = \dfrac{D }{\partial v} \left( \dfrac{\partial s}{\partial u} \right) $$

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