場の理論における交換子とは？
定義
環 $(R, +, \cdot)$において、二つの元$a, b \in R$の交換子commutatorを次のように定義する。
$$ [a, b] := a \cdot b - b \cdot a = ab - ba $$
$[a, b] = 0$ならば、$a, b$は交換可能commuteであるという。$a, b$の反交換子anticommutatorを次のように定義する。
$$ \left\{a, b\right\} = ab + ba $$
説明
群論における交換子と似ているが、環では加算$+$については既に交換法則が成立しているので、乗算$\cdot$について交換可能かを示す。
量子力学における交換子、微分幾何におけるベクトル場のリー括弧と同じである。
$(2)$は反交換性anticommutativityという。$(6)$はヤコビ恒等式という。
性質
$$ \begin{align} [a, a] &= 0 \\[1em] [a, b] &= -[b, a] \\[1em] [a+b, c] &= [a, c] + [b, c] \\[1em] [ab, c] &= a[b, c]+[a, c]b \\[1em] [a,bc] &= b[a,c]+ [a,b]c \\[1em] [a, [b, c]] + [c, [a,b]] + [b, [c,a]] &= 0 \end{align} $$
証明
(1)
$$ [a, a]=a-a=0 $$
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(2)
$$ [a,b] = ab-ba = -(ba-ab) = -[b,a] $$
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(3)
$$ \begin{align*} [a+b,c] =&\ (a+b)c-c(a+b) \\ =&\ ac+bc-ca-cb \\ =&\ (ac-ca) + (bc-cb) \\ =&\ [a,c]+[b,c] \end{align*} $$
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(4)
$$ \begin{align*} [ab,c] =&\ (ab)c-c(ab) \\ =&\ abc-cab \\ =&\ (abc {\color{blue}-cab})+(acb {\color{red}-acb}) \\ =&\ (abc {\color{red}-acb}) + (acb {\color{blue}-cab}) \\ =&\ a(bc-cb) +(ac-ca)b \\ =&\ a[b,c] + [a,c]b \end{align*} $$
(5)
$$ \begin{align*} [a,bc] =&\ a(bc)-(bc)a \\ =&\ abc-bca \\ =&\ ({\color{blue}abc} -bca)+({\color{red}bac} -bac) \\ =&\ ( {\color{red}bac}-bca )+({\color{blue}abc}-bac) \\ =&\ b[a,c] + [a,b]c \end{align*} $$
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