エルミート行列の異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交する。
정리
$A$を大きさが$n \times n$のエルミート行列としよう。$A$の異なる二つの固有値$\lambda , \mu$に対する固有ベクトルを$\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$とする。つまり
$$ \begin{align*} A \mathbf{x} =& \lambda \mathbf{x} \quad \\ A \mathbf{y} =& \mu \mathbf{y} \end{align*} $$
すると、二つの固有ベクトルは互いに直交する。
$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$
説明
エルミート行列は固有値が全て実数であるという性質だけでなく、それらに対応する固有ベクトルが互いに直交するという性質を持っている。こういう性質があれば、どこかの証明で役立てられることがあるだろう。元々固有値の概念を考えれば当然のように思えるが、定義をよく見れば必ずしもそうではない。
証明
$\mathbf{x}$は$\lambda$の固有ベクトル、$\mathbf{y}$は$\mu$の固有ベクトルだとする。$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$の両辺の左に$\mathbf{y}^{\ast}$を掛けると、次のようになる。
$$ \begin{equation} \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{lambda} \end{equation} $$
同様に、$A \mathbf{y} = \mu \mathbf{y}$の両辺の左に$\mathbf{x}^{\ast}$を掛けると、次のようになる。
$$ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} = \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} $$
$\mu$は実数であり、$A$はエルミート行列だから、式の両辺に共役転置$^{\ast}$を取ると、次のようになる。
$$ \begin{align} && \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} \right)^{\ast} =& \left( \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} \right)^{\ast} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} =& \mu^{\ast} \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} =& \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{mu} \end{align} $$
すると、$\eqref{lambda}$と$\eqref{mu}$により、次の式が成り立つ。
$$ \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} $$
左辺にまとめると、次のようになる。
$$ (\lambda - \mu ) \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 $$
仮定により$\lambda$と$\mu$は異なる実数なので、
$$ \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 \implies \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} = 0 $$
したがって、
$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$
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