エルミート行列の異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交する。
📂行列代数エルミート行列の異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交する。
정리
Aを大きさがn×nのエルミート行列としよう。Aの異なる二つの固有値λ,μに対する固有ベクトルをx、yとする。つまり
Ax=Ay=λxμy
すると、二つの固有ベクトルは互いに直交する。
x⊥y
説明
エルミート行列は固有値が全て実数であるという性質だけでなく、それらに対応する固有ベクトルが互いに直交するという性質を持っている。こういう性質があれば、どこかの証明で役立てられることがあるだろう。元々固有値の概念を考えれば当然のように思えるが、定義をよく見れば必ずしもそうではない。
証明
xはλの固有ベクトル、yはμの固有ベクトルだとする。Ax=λxの両辺の左にy∗を掛けると、次のようになる。
y∗Ax=λy∗x
同様に、Ay=μyの両辺の左にx∗を掛けると、次のようになる。
x∗Ay=μx∗y
μは実数であり、Aはエルミート行列だから、式の両辺に共役転置∗を取ると、次のようになる。
⟹⟹(x∗Ay)∗=y∗A∗x=y∗Ax=(μx∗y)∗μ∗y∗xμy∗x
すると、(lambda)と(mu)により、次の式が成り立つ。
λy∗x=y∗Ax=μy∗x
左辺にまとめると、次のようになる。
(λ−μ)y∗x=0
仮定によりλとμは異なる実数なので、
y∗x=0⟹y⋅x=0
したがって、
x⊥y
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