📂幾何学

微分可能多様体上の測地線

定義¹

微分多様体 $M$ 上の曲線 $\gamma : I \to M$に対して、点 $t_{0} \in I$で $\dfrac{D}{dt}\left( \dfrac{d \gamma}{d t} \right) = 0$ならば、$\gamma$が $t_{0}$で測地線と言う。もし全ての点 $t \in I$に対して、$\gamma$が $t$で測地線ならば、$\gamma$を 測地線^geodesicと言う。

もし $[a,b] \subset I$で、$\gamma : I \to M$が測地線ならば、縮小写像 $\gamma|_{[a,b]}$を $\gamma (a)$から $\gamma (b)$へ繋ぐ測地線セグメント^{geodesic segment joining $\gamma (a)$ to $\gamma (b)$}と言う。

説明

名前を乱用して、$\gamma$のイメージ $\gamma (I)$を測地線とも言う。

次の定理は$\gamma$が測地線である必要十分条件を述べており、$\mathbb{R}^{3}$での微分幾何学から得られる結果と同じである。

定理

$\gamma$が測地線である必要十分条件は以下の通りである。

$$\gamma \text{ is geodesic.} \iff \dfrac{d^{2} \gamma^{k}}{d t} + \Gamma_{ij}^{k}\dfrac{d \gamma^{i}}{d t} \dfrac{d \gamma^{j}}{d t}\quad \forall k$$