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双対空間によって定義される線形変換の転置 📂線形代数

双対空間によって定義される線形変換の転置

定理1

二つの有限次元 ベクター空間 V,WV, W順序基底をそれぞれβ,γ\beta, \gammaとしよう。任意の線形変換 T:VWT : V \to Wに対して、次のように定義された関数 UUは線形変換であり、[U]γβ=([T]βγ)t[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{t}を満たす。

U:WV by U(g)=gTgW U : W^{\ast} \to V^{\ast} \quad \text{ by } \quad U(g) = gT \quad \forall g \in W^{\ast}

ここで、[T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}TT行列表現t{}^{t}は行列の転置VV^{\ast}VV双対空間β\beta^{\ast}β\beta双対基底である。

定義

上の定理による線形変換 UUTT転置transposeと呼び、TtT^{t}と表記する。

説明

TTの行列表現の転置行列UUの行列表現であるため、これをTtT^{t}と表記し、転置と呼ぶのは非常に自然である。

[Tt]γβ=([T]βγ)t [T^{t}]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{t}

一方で定義から、gTgTggTT合成である。T:VWT : V \to Wが与えられており、Wg:WRW^{\ast} \ni g : W \to \mathbb{R}だから、gT(x)=g(T(x))gT(x) = g(T(x))である。

証明

任意のgWg \in W^{\ast}に対して、g:WRg : W \to \mathbb{R}T:VWT : V \to Wだから、U(g)=gT:VRU(g) = gT : V \to \mathbb{R}でありgTVgT \in V^{\ast}である。したがって、U:WVU : W^{\ast} \to V^{\ast}である。

二つの順序基底をβ={v1,,vn},γ={w1,,wm}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}, \gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}としよう。それぞれの双対基底をβ={f1,,fn},γ={g1,,gm}\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}, \gamma^{\ast} = \left\{ g_{1}, \dots, g_{m} \right\}としよう。表記の便宜上A=[T]βγA = [T]_{\beta}^{\gamma}としよう。行列表現を見つけるには、どのように各基底がマッピングされるかを見ればいい。 そこで、[U]γβ[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}}jj番目の列を見つけるために、U(gj)U(g_{j})を計算してみよう。

双対空間と双対基底

β={v1,,vn}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}XXの順序基底、β={f1,,fn}\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}XX^{\ast}の双対基底としよう。すると、fXf \in X^{\ast}に対して、

f=i=1nf(vi)fi f = \sum_{i=1}^{n}f(\mathbf{v}_{i})f_{i}

双対空間の性質とgjTVg_{j}T \in V^{\ast}によって、

U(gj)=gjT=s(gjT)(vs)fs U(g_{j}) = g_{j}T = \sum_{s}(g_{j}T)(\mathbf{v}_{s})f_{s}

[U(gj)]β=[(gjT)(v1)(gjT)(v2)(gjT)(vn)] [U(g_{j})]_{\beta^{\ast}} = \begin{bmatrix} (g_{j}T)(\mathbf{v}_{1}) \\ (g_{j}T)(\mathbf{v}_{2}) \\ \vdots \\ (g_{j}T)(\mathbf{v}_{n})\end{bmatrix}

したがって、UUの行列表現 [U]γβ[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}}は、

[U]γβ=[(g1T)(v1)(g2T)(v1)(gnT)(v1)(g1T)(v2)(g2T)(v2)(gnT)(v2)(g1T)(vn)(g2T)(vn)(gnT)(vn)] [U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = \begin{bmatrix} (g_{1}T)(\mathbf{v}_{1}) & (g_{2}T)(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & (g_{n}T)(\mathbf{v}_{1}) \\ (g_{1}T)(\mathbf{v}_{2}) & (g_{2}T)(\mathbf{v}_{2}) & \cdots & (g_{n}T)(\mathbf{v}_{2}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (g_{1}T)(\mathbf{v}_{n}) & (g_{2}T)(\mathbf{v}_{n}) & \cdots & (g_{n}T)(\mathbf{v}_{n}) \end{bmatrix}

しかし、各成分を計算してみると、

(gjT)(vi)=gj(T(vi))=gj(kmAkiwk)=kmAkigj(wk)=kmAkiδjk=Aji \begin{align*} (g_{j}T)(\mathbf{v}_{i}) = g_{j}(T(\mathbf{v}_{i})) &= g_{j}\left( \sum_{k}^{m} A_{ki}\mathbf{w}_{k} \right) \\ &= \sum_{k}^{m} A_{ki} g_{j}(\mathbf{w}_{k}) \\ &= \sum_{k}^{m} A_{ki} \delta_{jk} \\ &= A_{ji} \end{align*}

したがって、[U]γβ=([T]βγ)t[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{t}が成立する。


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p121-122 ↩︎