双対空間によって定義される線形変換の転置
📂線形代数双対空間によって定義される線形変換の転置
定理
二つの有限次元 ベクター空間 V,Wの順序基底をそれぞれβ,γとしよう。任意の線形変換 T:V→Wに対して、次のように定義された関数 Uは線形変換であり、[U]γ∗β∗=([T]βγ)tを満たす。
U:W∗→V∗ by U(g)=gT∀g∈W∗
ここで、[T]βγはTの行列表現、tは行列の転置、V∗はVの双対空間、β∗はβの双対基底である。
定義
上の定理による線形変換 UをTの転置transposeと呼び、Ttと表記する。
説明
Tの行列表現の転置行列がUの行列表現であるため、これをTtと表記し、転置と呼ぶのは非常に自然である。
[Tt]γ∗β∗=([T]βγ)t
一方で定義から、gTはgとTの合成である。T:V→Wが与えられており、W∗∋g:W→Rだから、gT(x)=g(T(x))である。
証明
任意のg∈W∗に対して、g:W→RとT:V→Wだから、U(g)=gT:V→RでありgT∈V∗である。したがって、U:W∗→V∗である。
二つの順序基底をβ={v1,…,vn},γ={w1,…,wm}としよう。それぞれの双対基底をβ∗={f1,…,fn},γ∗={g1,…,gm}としよう。表記の便宜上A=[T]βγとしよう。行列表現を見つけるには、どのように各基底がマッピングされるかを見ればいい。 そこで、[U]γ∗β∗のj番目の列を見つけるために、U(gj)を計算してみよう。
双対空間と双対基底
β={v1,…,vn}をXの順序基底、β∗={f1,…,fn}をX∗の双対基底としよう。すると、f∈X∗に対して、
f=i=1∑nf(vi)fi
双対空間の性質とgjT∈V∗によって、
U(gj)=gjT=s∑(gjT)(vs)fs
[U(gj)]β∗=(gjT)(v1)(gjT)(v2)⋮(gjT)(vn)
したがって、Uの行列表現 [U]γ∗β∗は、
[U]γ∗β∗=(g1T)(v1)(g1T)(v2)⋮(g1T)(vn)(g2T)(v1)(g2T)(v2)⋮(g2T)(vn)⋯⋯⋱⋯(gnT)(v1)(gnT)(v2)⋮(gnT)(vn)
しかし、各成分を計算してみると、
(gjT)(vi)=gj(T(vi))=gj(k∑mAkiwk)=k∑mAkigj(wk)=k∑mAkiδjk=Aji
したがって、[U]γ∗β∗=([T]βγ)tが成立する。
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