📂幾何学

接続の対称性

定義¹

微分多様体 $M$ 上の アフィン接続 $\nabla$が次を満たすとき、対称^symmetricという。

$$ \nabla_{X}Y - \nabla_{Y} X = \left[ X, Y \right] \quad \forall X,Y \in \mathfrak{X}(M) $$

ここで、$\mathfrak{X}(M)$は$M$上のベクトル場の集合であり、$[ \cdot, \cdot]$はリー括弧である。

説明

ユークリッド空間を例にしよう。$\mathbb{R}^{n}$の座標系 $(U, \mathbf{x})$を考える。これを、

$$ \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = [X_{i}, X_{j}] = X_{i}X_{j} - X_{j}X_{i} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{i}x_{j}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{j}x_{i}} = 0 \\ \implies \nabla_{X_{i}}X_{j} = \nabla_{X_{j}}X_{k} $$

と表記すると、

また、$\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}$なので、

$$ \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k} - \Gamma_{ji}^{k}X_{k} = (\Gamma_{ij}^{k} - \Gamma_{ji}^{k})X_{k} = 0 $$

したがって、$\Gamma_{ij}^{k} = \Gamma_{ji}^{k}$が成立する。