線形変換空間とその行列表現空間は同型である
📂線形代数線形変換空間とその行列表現空間は同型である
定理
2つのベクトル空間 V,Wがそれぞれ次元 n,mであるとする。そしてβ,γをそれぞれの順序基底とする。すると、以下のように定義された関数Φは同型写像である。
Φ:L(V,W)→Mm×n(R) by Φ(T)=[T]βγ
[T]βγはTの行列表現である。
系
線形変換が同型であるための必要十分条件は、定義域と値域の次元が等しいことであるから、
dim(L(V,W))=dim(Mm×n)=mn=dim(V)dim(W)
説明
有限次元の場合、すべての線形変換はそれに対応する行列があり、その逆もまた然りである。この両者の間で加算や合成(行列であれば行列積)がうまく保持されており、したがって線形変換も行列も本質的に同じと考えることができる。Vの要素にTを作用させること(下の左)もしくは座標ベクトルと行列表現を行列積すること(下の右)も本質的に同じである。
w=T(v)[w]γ=[T]βγ[x]β
証明
まず、Φが線形変換であることは、次のように簡単にわかる。
Φ(aT+U)=[aT+U]βγ=a[T]βγ+[U]βγ=aΦ(T)+Φ(U)
今、Φが単射かつ全射であることを示す。 β={v1,…,vn},γ={w1,…,wn}としよう。そして任意のm×nに対して与えられた行列A∈Mm×n(R)があるとする。すると次を満たす線形変換T:V→Wが唯一に存在する。
T(vj)=i=1∑nAijwi, for 1≤j≤n
これは[T]βγ=Aを意味し、つまりΦ(T)=Aである。したがって、すべてのA∈Mm×n(R)に対してT∈L(V,W)が唯一に決定されるため、Φは全単射であり、同型写像である。
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