📂線形代数

線形変換空間とその行列表現空間は同型である

定理¹

2つのベクトル空間 $V, W$がそれぞれ次元 $n, m$であるとする。そして$\beta, \gamma$をそれぞれの順序基底とする。すると、以下のように定義された関数$\Phi$は同型写像である。

$$ \Phi : L(V, W) \to M_{m\times n}(\mathbb{R}) \quad \text{ by } \quad \Phi (T) = [T]_{\beta}^{\gamma} $$

$[T]_{\beta}^{\gamma}$は$T$の行列表現である。

系

線形変換が同型であるための必要十分条件は、定義域と値域の次元が等しいことであるから、

$$ \dim( L(V,W) ) = \dim (M_{m\times n}) = mn = \dim(V) \dim(W) $$

説明

有限次元の場合、すべての線形変換はそれに対応する行列があり、その逆もまた然りである。この両者の間で加算や合成（行列であれば行列積）がうまく保持されており、したがって線形変換も行列も本質的に同じと考えることができる。$V$の要素に$T$を作用させること(下の左)もしくは座標ベクトルと行列表現を行列積すること(下の右)も本質的に同じである。

$$ \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) \qquad\qquad[\mathbf{w}]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} [\mathbf{x}]_{\beta} $$

証明

まず、$\Phi$が線形変換であることは、次のように簡単にわかる。

$\Phi (aT + U) = \href{../3283}{[aT+U]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}} = a\Phi (T) + \Phi (U)$

今、$\Phi$が単射かつ全射であることを示す。 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}, \gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}$としよう。そして任意の$m \times n$に対して与えられた行列$A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$があるとする。すると次を満たす線形変換$T : V \to W$が唯一に存在する。

$$ T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{n}A_{ij}\mathbf{w}_{i},\quad \text{ for } 1\le j \le n $$

これは$[T]_{\beta}^{\gamma} = A$を意味し、つまり$\Phi (T) = A$である。したがって、すべての$A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$に対して$T \in L(V, W)$が唯一に決定されるため、$\Phi$は全単射であり、同型写像である。

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