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線形変換空間とその行列表現空間は同型である 📂線形代数

線形変換空間とその行列表現空間は同型である

定理1

2つのベクトル空間 V,WV, Wがそれぞれ次元 n,mn, mであるとする。そしてβ,γ\beta, \gammaをそれぞれの順序基底とする。すると、以下のように定義された関数Φ\Phi同型写像である。

Φ:L(V,W)Mm×n(R) by Φ(T)=[T]βγ \Phi : L(V, W) \to M_{m\times n}(\mathbb{R}) \quad \text{ by } \quad \Phi (T) = [T]_{\beta}^{\gamma}

[T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}TT行列表現である。

線形変換が同型であるための必要十分条件は、定義域と値域の次元が等しいことであるから、

dim(L(V,W))=dim(Mm×n)=mn=dim(V)dim(W) \dim( L(V,W) ) = \dim (M_{m\times n}) = mn = \dim(V) \dim(W)

説明

有限次元の場合、すべての線形変換はそれに対応する行列があり、その逆もまた然りである。この両者の間で加算や合成(行列であれば行列積)がうまく保持されており、したがって線形変換も行列も本質的に同じと考えることができる。VVの要素にTTを作用させること(下の左)もしくは座標ベクトルと行列表現を行列積すること(下の右)も本質的に同じである。

w=T(v)[w]γ=[T]βγ[x]β \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) \qquad\qquad[\mathbf{w}]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} [\mathbf{x}]_{\beta}

証明

まず、Φ\Phi線形変換であることは、次のように簡単にわかる。

Φ(aT+U)=[aT+U]βγ=a[T]βγ+[U]βγ=aΦ(T)+Φ(U)\Phi (aT + U) = \href{../3283}{[aT+U]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}} = a\Phi (T) + \Phi (U)

今、Φ\Phi単射かつ全射であることを示す。 β={v1,,vn},γ={w1,,wn}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}, \gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}としよう。そして任意のm×nm \times nに対して与えられた行列AMm×n(R)A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})があるとする。すると次を満たす線形変換T:VWT : V \to W唯一に存在する。

T(vj)=i=1nAijwi, for 1jn T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{n}A_{ij}\mathbf{w}_{i},\quad \text{ for } 1\le j \le n

これは[T]βγ=A[T]_{\beta}^{\gamma} = Aを意味し、つまりΦ(T)=A\Phi (T) = Aである。したがって、すべてのAMm×n(R)A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})に対してTL(V,W)T \in L(V, W)が唯一に決定されるため、Φ\Phiは全単射であり、同型写像である。


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p103-104 ↩︎