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微分多様体上の平行なベクトル場 📂幾何学

微分多様体上の平行なベクトル場

定義1

MMを与えられたアフィン接続とする微分多様体∇\nablaとしよう。曲線c:I→Mc : I \to Mに沿ったベクトル場VVが次の条件を満たすなら、平行と言われる。

DVdt=0,∀i∈I \dfrac{DV}{dt} = 0,\quad \forall i \in I

定理

MMをアフィン接続とする微分多様体∇\nablaとしよう。c:T→M(t∈I)c : T \to M (t\in I)を微分可能な曲線としよう。V0V_{0}をc(t0)c(t_{0})での接ベクトルとしよう。

V0∈Tc(t0)M V_{0} \in T_{c(t_{0})}M

すると、V(t0)=V0V(t_{0}) = V_{0}を満たすccに沿った平行なベクトル場VVが唯一存在する。

説明

平行なベクトル場が良い理由は、微分すると00になるため、計算量が減って便利である。

上記の定理により、V(t)V(t)は以下のように表されるため、V(t)V(t)をV0V_{0}の平行移動と言う。

図1.png

証明

戦略: 全てのt∈It \in Iに対して、平行なベクトル場が存在する近傍があることを示すことにより証明する。その後、その部分の終わりを新しい出発点として取り、そこからある近傍までの存在が保証されるため、全体の領域に対して定理が成立する。

座標系x:U→M\mathbf{x} : U \to Mを一つ選ぼう。c(I)c(I)がある座標近傍x(U)\mathbf{x}(U)に含まれると仮定しよう。

c(t)=x(c1(t),…,cn(t)) c(t) = \mathbf{x}(c_{1}(t), \dots, c_{n}(t))

t0t_{0}での接ベクトルをV0=∑jV0j∂∂xjV_{0} = \sum_{j} V_{0}^{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}としよう。

  • Part 1. 唯一性

    今、V(t0)=V0V(t_{0}) = V_{0}を満たすccに沿った平行なベクトル場VVがx(U)\mathbf{x}(U)に存在すると仮定しよう。すると、平行なベクトル場の定義により、以下が成立する。

    0=DVdt= Ddt(∑jVj∂∂xj)=∑jDdt(Vj∂∂xj)= ∑jdVjdt∂∂xj+∑jVj∇dcdt∂∂xj \begin{align*} 0 = \dfrac{DV}{dt} =&\ \dfrac{D}{dt} \left( \sum_{j} V_{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) = \sum_{j} \dfrac{D}{dt} \left( V_{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j} V_{j} \nabla_{\frac{dc}{dt}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \end{align*}

    この時、dcdt=∑idcidt∂∂xi\dfrac{dc}{dt} = \sum\limits_{i}\dfrac{d c_{i}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}であり、∇∂∂xi∂∂xj=∑kΓijk∂∂xk\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}であるので、次を得る。

    0= ∑jdVjdt∂∂xj+∑jVj∇∑idcidt∂∂xi∂∂xj= ∑jdVjdt∂∂xj+∑i,jVjdcidt∇∂∂xi∂∂xj= ∑jdVjdt∂∂xj+∑i,jVjdcidt∑kΓijk∂∂xk= ∑jdVjdt∂∂xj+∑i,j,kVjdcidtΓijk∂∂xk \begin{align*} 0 =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j}V_{j} \nabla_{\sum_{i}\frac{dc_{i}}{dt}\frac{\partial }{\partial x_{i}}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt}\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt}\sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j,k}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*}

    jjはダミーインデックスなので、最初の項のインデックスをkkに変えて整理すると、次を得る。

    0=∑k(dVkdt+∑i,jVjdcidtΓijk)∂∂xk 0 = \sum_{k} \left( \dfrac{d V_{k}}{d t} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

    このベクトルが00であるためには、全ての係数が00でなければならないので、次を得る。

    0=dVkdt+∑i,jVjdcidtΓijk,k=1,…,n \begin{equation} 0 = \dfrac{d V_{k}}{d t} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k}, \quad k=1,\dots,n \end{equation}

    これはODEシステムである。従って、初期値vk(t0)=V0kv_{k}(t_{0}) =V_{0}^{k}が与えられているので、ピカールの定理により、VVは唯一であることが分かる。

  • Part 2. 存在性

    (1)(1)のようなODEシステムを考えてみよう。すると、ピカールの定理により、全てのt∈It \in Iに対して解が存在する。従って、我々が描写するVVが存在することが分かる。

■

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p52-53 ↩︎