📂幾何学

ベクトル場の共変微分

定理¹

$M$を微分可能多様体とし、$\nabla$を$M$上のアフィン接続とする。この時、微分可能な曲線$c : I \to M(t\in I)$に沿うベクターフィールド$V$を$c$に沿う別のベクターフィールド$\dfrac{D V}{dt}$に対応させる関数$\dfrac{D}{dt} : V \mapsto \dfrac{DV}{dt}$が唯一存在する。このマッピングを$V$の共変微分^{covariant derivative of $V$ along $c$}といい、以下の性質を持つ。$W$が$c$に沿うベクターフィールドで、$f$が$I$上で定義された微分可能な関数の時、

(a) $\dfrac{D}{dt}(V+W) = \dfrac{DV}{dt} + \dfrac{DW}{dt}$

(b) $\dfrac{D}{dt}(fV) = \dfrac{df}{dt}V + f \dfrac{DV}{dt}$

(c) もし$V$が$Y \in \mathfrak{X}(M)$の縮小写像、つまり$V(t) = Y(c(t))$の場合、$\dfrac{DV}{dt} = \nabla_{dc/dt}Y$

$\dfrac{D V}{d t}$は明示的に以下の通り。

$$\dfrac{DV}{dt} = \sum_{j} \left( \dfrac{d v^{j}}{dt} + \sum_{j,k} v^{j}\frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} \right) X_{j}$$

ここで、$V = v^{j}X_{j}$、$X_{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$である。

説明

(a)と(b)を見ると、$V$に対応するこのようなベクターフィールドを$\dfrac{D V}{dt}$と表示する理由がない。微分が持つべき性質を持っているからだ。

証明

• Part 1. 一意性

  (a)〜(c)を満たすマッピング$V \mapsto \dfrac{DV}{dt}$が存在すると仮定する。$\mathbf{x} : U \to M$を曲線$c$と重なる座標とする。

  $$c(I) \cap \mathbf{x}(U) \ne \varnothing$$

  $c(t) = \mathbf{x}(c_{1}(t), \dots, c_{n}(t))$とする。$V$をベクターフィールドとする。

  $$V = v^{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = v^{j}X_{j}$$

  ここで、$X_{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}\right|_{c(t)}$、$v^{j} = v^{j}(t)$である。すると、性質(a)、(b)により、以下が成り立つ。

  $$\begin{align*} \dfrac{DV}{dt} =&\ \dfrac{D}{dt}\left( \sum_{j} v^{j}X_{j} \right) \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{D}{dt}\left( v^{j}X_{j} \right) & \text{by (a)} \\ =&\ \sum_{j} \left( \dfrac{d v^{j}}{dt}X_{j} + v^{j}\dfrac{D X_{j}}{dt} \right) & \text{by (b)} \\ \end{align*}$$

  この時、性質(c)およびアフィン接続の性質1.により、以下が成り立つ。

  $$\begin{align*} \dfrac{D X_{j}}{dt} =&\ \nabla_{dc/dt} X_{j} &\text{by (c)} \\ =&\ \nabla_{\sum_{k} \frac{dc_{k}}{dt} X_{k}} X_{j} \\ =&\ \sum_{k} \frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} X_{j} & \text{by 1.} \\ \end{align*}$$

  これを元の式に代入すると、以下を得る。

  $$\begin{align*} \dfrac{DV}{dt} =&\ \sum_{j} \left( \dfrac{d v^{j}}{dt}X_{j} + v^{j}\sum_{k} \frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} X_{j} \right) \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d v^{j}}{dt}X_{j} + \sum_{j,k} v^{j}\frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} X_{j} & \cdots \circledast \end{align*}$$

  補助定理

  $(\nabla_{X}Y)(p)$は、$X(p)$および$Y(\gamma (t))$にのみ依存する。

  補助定理により、$\nabla_{ \frac{\partial }{\partial x_{k}}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$は座標により決定されることがわかる。残りの部分も座標により一つに決定される。したがって、存在するなら、一意である。

• Part 2. 存在性

  $\dfrac{DV}{dt}$を以下のように定義する。すると、性質(a)〜(c)を満たす。

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