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アフィン接続

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微分多様体上のベクトル場$\mathbf{V}$が与えられたとしよう。多様体上で定義された関数は、ベクトル場を通して微分できる。すると、自然とベクトル場自体を微分したくなる。しかし、$\mathbb{R}^{3}$のベクトル場の微分を微分幾何の観点からは不可能であると以下のように理解できる。

• 一番目の場合

  $S \subset \mathbb{R}^{3}$を面、$c : I \to S$を$S$上で定義された曲線としよう。そして、$\mathbf{V}$は$c$に従うベクトル場とする。すると、$\mathbf{V}(t)$は$c(t)$上の接ベクトルになる。

  $$ \mathbf{V}(t) \in T_{c(t)}S $$

  それにより、以下のように座標ベクトルで表すことができる。

  $$ \mathbf{V}(t) = \left( V_{1}(t), V_{2}(t), V_{3}(3) \right) $$

  だから、次のようにベクトルを微分したくなるだろう。

  $$ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) = \left( V_{1}^{\prime}(t), V_{2}^{\prime}(t), V_{3}^{\prime}(3) \right) $$

  しかし、$\mathbf{V}$の導関数を上記のように定義すると、これは一般に接ベクトルにならない。

  $$ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) \notin T_{c(t)}S $$

  微分幾何では、内在的な性質を持つ対象に関心があるが、上記の定義ではベクトル場の導関数が内在的でなくなり、そのため、ベクトル場を再度接束$TS$に投影してそれを導関数として扱う。$\Pi : \mathbb{R}^{3} \to TS$を直交射影としよう。すると、ベクトル場の導関数を以下のように定義する。

  $$ \dfrac{D \mathbf{V}}{d t}(t) := \Pi \circ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) $$

  これを共変導関数と呼び、内在的である。

• 二番目の場合

  以下のように極限で定義した関数の微分を考えよう。

  $$ \dfrac{d \mathbf{v}}{d t}(t) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{V}(t+h) - \mathbf{V}(t)}{h} $$

  しかし、$\mathbf{V}(t+h) \in T_{c(t+h)}S$であり$\mathbf{V}(t) \in T_{c(t)}S$であるため、分子の二項は異なる空間の要素である。だから、加算演算が不可能である。

これらの理由から、ベクトル場の微分は、微分が持つべき形式的な条件を満たす抽象的な概念として定義される。

定義

$\mathfrak{X}(M)$¹を、微分多様体$M$上の$C^{\infty}$ベクトル場の集合としよう。

$$ \mathfrak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fields of class } C^{\infty} \text{ on } M \right\} $$

$\mathcal{D}(M)$を$M$上で定義された$C^{\infty}$関数の集合としよう。

$$ \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\} $$

それでは、微分多様体$M$上のアファイン接続$\nabla$は

$$ \begin{align*} \nabla : \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M)& \to \mathfrak{X}(M) \\ (X, Y) &\mapsto \nabla_{X}Y \end{align*} $$

このような写像であり、以下の性質を満たすものと定義される。

1. $\nabla_{fX + gY} Z = f \nabla _{X}Z + g\nabla_{Y}Z$
2. $\nabla_{X}(Y + Z) = \nabla_{X}Y + \nabla_{X}Z$
3. $\nabla_{X}(fX) = f\nabla_{X}Y + X(f) Y$

説明

$\nabla_{X}Y$で、$X$は微分される変数であり、$Y$は微分される関数を意味する。したがって、1. ~ 3.はそれぞれ微分の以下のような性質を表している。

1.　$\left( a\dfrac{\partial }{\partial x} + b\dfrac{\partial }{\partial y} \right)f = a\dfrac{\partial f}{\partial x} + b\dfrac{\partial f}{\partial y}$

2.　$\dfrac{\partial }{\partial x}(f+ g) = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial g}{\partial x}$

3.　$\dfrac{\partial }{\partial x}(fg) = \dfrac{\partial f}{\partial x}g + f\dfrac{\partial g}{\partial x}$

したがって、$\nabla_{X}$は$\dfrac{\partial}{\partial x}$と解釈され、$Y$は$f$のように解釈される。

定理

$(\nabla_{X}Y)(p)$は、$X(p)$および$Y(\gamma (t))$にのみ依存する。この時、$\gamma$は

$$ \gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M \\ \gamma (0) = p \\ \gamma^{\prime}(0) = X(p) $$

この条件を満たす曲線である。

証明

座標$\mathbf{x} : U \to M$を1つ選ぼう。そして、$X, Y$をベクトル場とする。

$$ X = \sum_{i} X_{i} \dfrac{\partial }{\partial x_{i}},\quad Y = \sum_{j} Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} $$

すると、$\nabla$の性質により、

$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \nabla_{\sum_{i} X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\sum_{j}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =& \sum_{i,j} \nabla_{X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} &\text{by 1. and 2.}\\ =& \sum_{i,j} X_{i}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} &\text{by 1.} \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) &\text{by 3.} \end{align*} $$

この時、$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$はベクトル場と無関係であり、純粋に座標の選択にのみ依存する値であることがわかる。これもアファイン接続の定義によるベクトル場であるため、係数を$\Gamma_{ij}^{k}$とすると、以下のように書ける。

$$ \nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

これを代入すると、

$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \right) \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j,k} X_{i}Y_{j}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \end{align*} $$

ここで、$i,j,k$はダミーインデックスなので、前項の$j$を$k$に変えよう。そうすると、

$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \sum_{i,k} X_{i} \dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} X_{i}Y_{j}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ =& \sum_{i,k} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j} Y_{j}\Gamma_{ij}^{k}\right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*} $$

ここで、$\Gamma_{ij}^{k}, \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}$は与えられた座標によって決定される。$\dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}}$も$Y_{k}$が決まれば同様に座標があれば決定される。したがって、上記の式は純粋に$X(p), Y(\gamma (t))$の値にのみ依存することがわかる。

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