📂線形代数

線形汎関数

定義¹

$V$をベクトル空間としよう。$V$から$\mathbb{C}$（または$\mathbb{R}$）への写像$f$を汎関数^functionalという。

$$f : V \to \mathbb{C}$$

$f$が線形ならば、線形汎関数という。

もっと詳しい定義²

$V$をフィールド$F$上のベクトル空間としよう。この時、フィールド$F$自体が$F$上の$1$次元ベクトル空間になる。線形変換 $f : V \to F$を線形汎関数^{linear functional}という。

言い換えれば、線形汎関数とはベクトル空間とその体の間の線形変換である。

説明

よく見る定義は最初の定義だ。通常、二番目のように抽象的に定義することはない。

汎関数を韓国語に訳すと「범함수」となり、あまり特徴がないが、英語ではfunctionalが形容詞ではなく名詞であることに注意する必要がある。また、汎関数（汎函数）という翻訳はgeneralized function^{一般化関数}からの影響を受けている。

線形作用素との区別は、値域が$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$と定義されるという点のみで、まさにこの違いが双対空間のような空間を考える価値があるということである。すぐにノルム$\| \cdot \| = \| \cdot \|_{V}$はそれ自体が汎関数になり、測度論との関連で考えると、有用であることが避けられない。

例

トレース

$V = M_{n\times n}(\mathbb{R})$としよう。関数$f$を次のように定義しよう。

$$f : M_{n\times n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \quad \text{ by } \quad f(A) = \tr(A)$$

この時、$\tr$は行列のトレースである。したがって、$f$は線形汎関数である。

フーリエ係数

$V$を$f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$を満たす連続関数のベクトル空間としよう。固定された$g \in V$に対して、$h : V \to \mathbb{R}$を次のように定義しよう。

$$h(f) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x)g(x)dx$$

すると、$h$は線形汎関数である。$g$が$\cos nx$または$\sin nx$の時、$h(f)$は$f$のフーリエ係数になる。

座標関数

$V$を有限次元ベクトル空間としよう。$\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$を$V$の順序基底としよう。$\mathbf{x} \in V$の座標ベクトルが次のようであるとしよう。

$$[\mathbf{x}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}$$

今、$1 \le i \le n$に対して次のような関数を考えよう。

$$f_{i}(\mathbf{x}) = a_{i}$$

すると、$f_{i}$は$V$上で定義された線形汎関数であり、これを**$i$番目の座標関数**^{$i$th coordinate function with respect to the ordered basis $\beta$}という。すると、$f_{i}(\mathbf{v}_{i}) = \delta_{ij}$が成立する。$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタである。座標関数は双対空間を語る上で重要な役割を果たす。