固有値の代数的重複度はその幾何的重複度以上である
概要
matrix $A \in \mathbb{C}^{ m \times m}$ の eigenvalue $\lambda$ が、代数的重複度 $a$ と幾何学的重複度 $g$ を持つ場合、$a \ge g$ である。
説明
eigenvalueの代数的重複度と幾何学的重複度が同じである保証はない。もしそうだったら、最初から異なって定義することはなかっただろう。ただ、一つ確信できることは、代数的重複度がどれだけ小さくても、幾何学的重複度よりは大きい、または同じであるという事実だ。
証明
表記：便宜上、与えられた行列に対するrow spaceのbasisを、行列の基底としよう。$m \in \mathbb{N}$ と言う時、$m \times m$ の大きさを持つidentity matrixを意味する。インデックスが省略されている場合は、文脈上、操作されている行列のサイズに応じて考えればいい。
仮定により、以下が成り立つ。
$$ g = \dim \text{sp} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} \right\} = \dim S_{\lambda} = \dim \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{ m } \ | \ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \right\} $$
つまり、$1 \le i \le g$ に対して、$A \mathbf{x}_{i} = \lambda \mathbf{x}_{i}$ である。今、行列 $A$ の基底が $$ \text{sp} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} , \mathbf{y}_{1} , \mathbf{y}_{2} , \cdots , \mathbf{y}_{m-g} \right\} $$ ならば、$P = \begin{bmatrix}\mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \cdots & \mathbf{x}_{g} & \mathbf{y}_{1} & \mathbf{y}_{2} & \cdots & \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix}$ はinvertible matrixである。
$$ \begin{align*} AP =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1} & A \mathbf{x}_{2} & \cdots & A \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda \mathbf{x}_{1} & \lambda \mathbf{x}_{2} & \cdots & \lambda \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix} \end{align*} $$
ここで、$B \in \mathbb{C}^{ g \times (m-g) }, C \in \mathbb{C}^{ (m-g) \times (m-g) }$ であり、$O$ は$(m-g) \times g$ zero matrixである。$D = \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix}$ とすると、$AP = PD$ であり、$P$ はinvertible matrixであるから、 $$ A = PDP^{-1} $$ また、行列 $A$ と $D$ が類似しているので、 $$ \begin{align*} \det (A - \mu I) =& \det (D - \mu I) \\ =& \det \begin{bmatrix} (\lambda - \mu) I_{g} & B \\ O & C - \mu I_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& (\lambda - \mu)^{g} \det ( C - \mu I_{m-g} ) \end{align*} $$
特性方程式 $\det (A - \mu I) = 0$ を満たす根のうち、$\mu = \lambda$ は少なくとも幾何学的重複度 $g$ を持つ。したがって、$\lambda$ の代数的重複度 $a$ は、$g$ 以上である。
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