任意の演算子に対して常にエルミート形式
式
任意の演算子 $A$ に対して、以下の形は常にエルミート演算子だ。
$$ A + A^{\dagger} \tag{1} $$
$$ \i (A - A^{\dagger}) \tag{2} $$
$$ A A^{\dagger} \tag{3} $$
証明
元の式に共役転置 $^{\dagger}$を取っても元の形であることを示せば証明が終わり。
(1)
$$ (A+A^{\dagger})^{\dagger}=A^{\dagger}+{(A^{\dagger})}^{\dagger}=A^{\dagger}+A=A+A^{\dagger} $$
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(2)
$$ [\i(A-A^{\dagger}) ]^{\dagger} = -\i\left[ A^{\dagger}-{(A^{\dagger})}^{\dagger} \right] = -\i(A^{\dagger}-A) = \i(A-A^{\dagger}) $$
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(3)
$$ (AA^{\dagger})^{\dagger}={(A^{\dagger})}^{\dagger} A^{\dagger}=AA^{\dagger} $$
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