📂幾何学

k形式の外微分

定義¹

$\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I}$を$n$次元の微分多様体$M$上の$k$-形式とする。$\omega$の外微分$d\omega$を次のように定義する。

$$ d\omega := \sum\limits_{I} da_{I} \wedge dx_{I} $$

ここで、$\wedge$はくさび積だ。

説明

$da_{I}$は$1$-形式であり、$dx_{I}$は$k$-形式であるから、$d\omega$は$(k+1)$-形式だ。

例

$\omega$を以下のように与えられた$\mathbb{R}^{3}$の$1$-形式とする。

$$ \omega = xyz dx + yz dy + (x + z)dz $$

すると、$d\omega$は次のようになる。

$$ \begin{align*} d\omega &= d(xyz) \wedge dx + d(yz) \wedge dy + d(x+z)\wedge dz \\ &= (yzdx + xzdy + xydz) \wedge dx + (zdy + ydz) \wedge dy + (dx + dz) \wedge dz \\ &= xzdy \wedge dx + xydz \wedge dx + ydz \wedge dy + dx \wedge dz \\ &= -xzdx \wedge dy - xydx \wedge dz - ydy \wedge dz + dx \wedge dz \\ &= -xzdx \wedge dy + (1 - xy) dx \wedge dz - ydy \wedge dz \end{align*} $$

性質

(a) $\omega_{1}, \omega_{2}$が$k$-形式のとき、

$$ d(\omega_{1} + \omega_{2}) = d\omega_{1} + d\omega_{2} $$

(b) $\omega$が$k$-形式で、$\varphi$が$s$-形式のとき、

$$ d(\omega \wedge \varphi) = d\omega \wedge \varphi + (-1)^{k}\omega \wedge d\varphi $$

(c) $d(d\omega) = d^{2}\omega = 0$

(d) $N, M$がそれぞれ$n, m$次元の微分多様体で、$\omega$が$M$上の$k$-形式、$f : N \to M$が微分可能な関数のとき、

$$ d(f^{\ast} \omega) = f^{\ast}(d\omega) $$

ここで、$f^{\ast}\omega$は$\omega$のプルバックだ。

証明

(a)

$\omega_{1} = \sum\limits_{I}a_{I}dx_{I}$と$\omega_{2} = \sum\limits_{I}b_{I}dx_{I}$とする。それでは、微分形式の和とくさび積の性質により、

$$ \begin{align*} d(\omega_{1} + \omega_{2}) &= d\left( \sum\limits_{I}(a_{I} + b_{I})dx_{I} \right) \\ &= \sum\limits_{I} d (a_{I} + b_{I}) \wedge dx_{I} \\ &= \sum\limits_{I} (d a_{I} + d b_{I}) \wedge dx_{I} \\ &= \sum\limits_{I} (d a_{I} \wedge dx_{I} + d b_{I} \wedge dx_{I}) \\ &= \sum\limits_{I} d a_{I} \wedge dx_{I} + \sum\limits_{I} d b_{I} \wedge dx_{I} \\ &= d\omega_{1} + d\omega_{2} \end{align*} $$

■

(b)

$\omega = \sum\limits_{I}a_{I}dx_{I}$と$\varphi = \sum\limits_{J}b_{J}dx_{J}$とする。それでは、

$$ \begin{align*} d(\omega \wedge \varphi) &= d\left( \sum\limits_{I}a_{I}dx_{I} \wedge \sum\limits_{J}b_{J}dx_{J} \right) \\ &= d\left( \sum\limits_{I,J}a_{I}b_{J} dx_{I} \wedge dx_{J} \right) \\ &= \sum\limits_{I,J} d\left( a_{I}b_{J} \right) \wedge dx_{I} \wedge dx_{J} \\ &= \sum\limits_{I,J} \left( b_{J}da_{I} + a_{I}db_{J} \right) \wedge dx_{I} \wedge dx_{J} \\ &= \sum\limits_{I,J} b_{J}da_{I} \wedge dx_{I} \wedge dx_{J} + \sum\limits_{I,J} a_{I}db_{J}\wedge dx_{I} \wedge dx_{J} \\ &= \left( \sum\limits_{I} da_{I} \wedge dx_{I} \right) \wedge \sum\limits_{J}b_{J} dx_{J} + (-1)^{k}\sum\limits_{I,J} a_{I}dx_{I}\wedge db_{J} \wedge dx_{J} \\ &= d\omega \wedge \varphi + (-1)^{k} \left( \sum\limits_{I}a_{I}dx_{I} \right)\wedge \left( \sum\limits_{J} db_{J}\wedge dx_{J} \right) \\ &= d\omega \wedge \varphi + (-1)^{k} \omega \wedge d\varphi \\ \end{align*} $$

■

(c)

• ケース1. $k=0$

$\omega$を$0$-形式とする。

$$ \omega = f : M \to \mathbb{R} $$

それでは、

$$ \begin{align*} d(d\omega) = d(df) &= d\left( \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} \right) \\ &= \sum_{i} d\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \right) \wedge dx_{i} \\ &= \sum_{i} \left( \sum_{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} dx_{j}\right) \wedge dx_{i} \\ &= \sum_{i, j} \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} dx_{j}\right) \wedge dx_{i} \\ &= \begin{cases} 0 & i = j \\ 0 & i \ne j \end{cases} \\ &= 0 \end{align*} $$

$i=j$の場合、$dx_{i} \wedge dx_{i} = 0$であるため、$0$である。$i \ne j$の場合には、

$$ \begin{align*} \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} dx_{j}\right) \wedge dx_{i} + \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} dx_{i}\right) \wedge dx_{j} \end{align*} $$