k形式の外微分
📂幾何学k形式の外微分
定義
ω=I∑aIdxIをn次元の微分多様体M上のk-形式とする。ωの外微分dωを次のように定義する。
dω:=I∑daI∧dxI
ここで、∧はくさび積だ。
説明
daIは1-形式であり、dxIはk-形式であるから、dωは(k+1)-形式だ。
例
ωを以下のように与えられたR3の1-形式とする。
ω=xyzdx+yzdy+(x+z)dz
すると、dωは次のようになる。
dω=d(xyz)∧dx+d(yz)∧dy+d(x+z)∧dz=(yzdx+xzdy+xydz)∧dx+(zdy+ydz)∧dy+(dx+dz)∧dz=xzdy∧dx+xydz∧dx+ydz∧dy+dx∧dz=−xzdx∧dy−xydx∧dz−ydy∧dz+dx∧dz=−xzdx∧dy+(1−xy)dx∧dz−ydy∧dz
性質
(a) ω1,ω2がk-形式のとき、
d(ω1+ω2)=dω1+dω2
(b) ωがk-形式で、φがs-形式のとき、
d(ω∧φ)=dω∧φ+(−1)kω∧dφ
(c) d(dω)=d2ω=0
(d) N,Mがそれぞれn,m次元の微分多様体で、ωがM上のk-形式、f:N→Mが微分可能な関数のとき、
d(f∗ω)=f∗(dω)
ここで、f∗ωはωのプルバックだ。
証明
(a)
ω1=I∑aIdxIとω2=I∑bIdxIとする。それでは、微分形式の和とくさび積の性質により、
d(ω1+ω2)=d(I∑(aI+bI)dxI)=I∑d(aI+bI)∧dxI=I∑(daI+dbI)∧dxI=I∑(daI∧dxI+dbI∧dxI)=I∑daI∧dxI+I∑dbI∧dxI=dω1+dω2
■
(b)
ω=I∑aIdxIとφ=J∑bJdxJとする。それでは、
d(ω∧φ)=d(I∑aIdxI∧J∑bJdxJ)=dI,J∑aIbJdxI∧dxJ=I,J∑d(aIbJ)∧dxI∧dxJ=I,J∑(bJdaI+aIdbJ)∧dxI∧dxJ=I,J∑bJdaI∧dxI∧dxJ+I,J∑aIdbJ∧dxI∧dxJ=(I∑daI∧dxI)∧J∑bJdxJ+(−1)kI,J∑aIdxI∧dbJ∧dxJ=dω∧φ+(−1)k(I∑aIdxI)∧(J∑dbJ∧dxJ)=dω∧φ+(−1)kω∧dφ
■
(c)
ωを0-形式とする。
ω=f:M→R
それでは、
d(dω)=d(df)=d(i=1∑n∂xi∂fdxi)=i∑d(∂xi∂f)∧dxi=i∑(j∑∂xj∂∂xi∂fdxj)∧dxi=i,j∑(∂xj∂xi∂2fdxj)∧dxi={00i=ji=j=0
i=jの場合、dxi∧dxi=0であるため、0である。i=jの場合には、
(∂xj∂xi∂2fdxj)∧dxi+(∂xi∂xj∂2fdxi)∧dxj