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幾何学におけるオイラー指数 📂幾何学

幾何学におけるオイラー指数

定義

簡単な定義

任意の図形が一つ与えられたとしよう。点の数を$V$vertex、辺の数を$E$edge、面の数を$F$faceとする。この図形のオイラー指標Euler characteristic$\chi$を次のように定義する。

$\chi := V - E + F$

難しい定義1

曲面$M$の領域$\mathscr{R}$に対して、ガウス-ボンネの定理を満たす$\chi(\mathscr{R}) \in \mathbb{Z}$を$\mathscr{R}$のオイラー指標という。

$$ \sum_{i=1}^{n} \int_{C_{i}}K_{g}ds + \iint_{R} K dA + \sum\theta_{i} = 2\pi \chi(\mathscr{R}) $$

参照

グラフ理論でのオイラーの公式

元々オイラー指標はグラフ理論で最も有名で、オイラーの多面体定理またはオイラー式連結平面グラフに対して$\chi = 2$というグラフ理論の定理だ。

幾何学でのオイラー指標

ガウス-ボンネの定理の方程式を満たす整数として定義される。

代数位相幾何学でのオイラー指標

各次元のベッチ数の交代和として定義される。


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p189-190 ↩︎