📂複素解析

極における留数

定理 ¹

$\alpha$が関数$f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$のpole of order $m$、すなわち$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over { (z - \alpha)^m }}$と表せるとしよう。ここで$g$は$\alpha$で解析的であり$g(\alpha) \ne 0$であるとすると $$ \text{Res}_{\alpha} f(z) = {{g^{(m-1)} (\alpha)} \over {(m-1)!} } $$

留数定理によって積分の問題を留数を求める問題に変えられるところまではよいが、留数を求めるのが積分と同じくらい難しいなら意味がない。留数定理を使うたびに定義に従ってローラン展開をして留数を求めなければならないとしたら、現実的に計算があまりにも大変だ。そこで学者たちは留数を簡単に求める方法を探し出し、少なくとも極については非常に簡単かつ素早く留数を求める公式を見つけ出した。ただしこの定理の場合も$g$を$(m-1)$回微分しなければならないため、$m \ge 3$くらいになるとむしろ留数の定義で求める方が楽なこともある。

証明

$g$は$\alpha$で解析的であるため、テイラー展開によって$\displaystyle g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} {{g^{(n)} ( \alpha ) ( z - \alpha )^{n} } \over {n!}}$と表せる。仮定により $$ \begin{align*} f(z) =& \sum_{n=0}^{\infty} {{g^{(n)} ( \alpha ) ( z - \alpha )^{n-m} } \over {n!}} \\ =& \sum_{n=0}^{\infty} {{g^{(n)} ( \alpha ) } \over {n! ( z - \alpha )^{m-n}} } \end{align*} $$ 留数の定義により、$\displaystyle {{1} \over {z - \alpha}}$の係数$\displaystyle {{g^{(m-1)} (\alpha)} \over {(m-1)!} }$は$\alpha$における$f$の留数$\text{Res}_{\alpha} f(z)$となる。

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特に$m=1$、すなわち$\alpha$が単純極であれば$\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = g(\alpha) = \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha) f(z)$となり、非常に便利に問題を解ける。