ガウス・ボーネの定理
ガウス・ボンネの定理
$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$を単連結な測地線座標切片写像、$\boldsymbol{\gamma}(I) \subset \mathbf{x}(U)$である$\boldsymbol{\gamma}$を区間ごとに正則曲線としよう。そして、$\boldsymbol{\gamma}$がある領域$\mathscr{R}$を囲むとする。すると、以下が成立する。
$$ \iint_{\mathscr{R}} K dA + \int_{\boldsymbol{\gamma}} \kappa_{g} ds + \sum \alpha_{i} = 2\pi $$
ここで$K$はガウス曲率、$\kappa_{g}$は測地曲率、$\alpha_{i}$は$\boldsymbol{\gamma}$の区間と区間の間の接する点juntion pointでの角度差jump anglesである。
説明
$\boldsymbol{\gamma}$を区間ごとに正則な曲線と仮定したので、タンジェントの方向が突然大きく変わる点があるが、その場所での角度差を$\alpha_{i}$とした。$\boldsymbol{\gamma}$が全体的に滑らかにつながる曲線なら、角度がジャンプする場所はないので、$\alpha_{i}$は$0$である。(図(が))
上の定理は$\mathbf{x}$を測地線座標切片写像という強い条件を置いたときの結果である。より一般的な結果では、式にオイラー指標が登場し、次のようである。
$$ \iint_{\mathscr{R}} K dA + \int_{C_{i}}\kappa_{g}ds + \sum\alpha_{i} = 2\pi \chi(\mathscr{R}) $$
証明
$\mathbf{x}$が測地線座標切片写像であるので、第1基本形式の係数を次のようにしよう。
$$ \left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix} $$
そして、$\boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t) \right)$としよう。今、$\mathbf{x}_{1}$と$\boldsymbol{\gamma}$のタンジェント$T = \boldsymbol{\gamma}^{\prime}$間の角度を$\alpha$としよう。
$$ \alpha (t) := \angle ( \mathbf{x}_{1}, T) $$
私たちは、$\boldsymbol{\gamma}$がパスに沿って一周するとき、$\mathbf{x}_{1}$を基準にしたときの$T$の角度変化が$2 \pi$であることを利用して、定理を証明するだろう。まず、$\boldsymbol{\gamma}$を単位速度曲線と仮定しよう。そして、$P$を次を満たす$\boldsymbol{\gamma}$に沿った平行なベクトル場としよう。(上の図(な)参照)
$$ P(t) = \text{parallel vector field starting from a juction point s.t. } \dfrac{P \times T}{\left\| P \times T \right\|} = \mathbf{n} $$
そして、$\phi$と$\theta$をそれぞれ$\mathbf{x_{1}}$と$P$および$P$と$T$間の角度としよう。
$$ \phi (t) = \angle(\mathbf{x}_{1}, P),\quad \theta (t) = \angle(P, T) $$
言い換えると、$\left\langle \mathbf{x}_{1}, P(t) \right\rangle = \cos\phi (t)$であり、これを微分すると、
$$ -\sin \phi (t) \dfrac{d \phi}{d t}(t) = \left\langle \dfrac{d \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t))}{d t}, P(t) \right\rangle + \left\langle \mathbf{x}_{1}, \dfrac{d P}{d t}(t) \right\rangle $$
この時、$P$が$\gamma$に沿って平行なベクトル場であるため、$\dfrac{dP}{dt}$は定義により$M$と垂直である。$\mathbf{x}_{1}$は$M$と接するので、後ろの項は$0$である。さらに計算すると、
$$ \begin{align*} &\quad -\sin \phi (t) \dfrac{d \phi}{d t}(t) \\ &= \left\langle \dfrac{d \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t))}{d t}, P(t) \right\rangle \\ &= \Big[ \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t)) (\gamma^{1})^{\prime}(t) + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t)) (\gamma^{2})^{\prime}(t) \Big] \cdot P(t) \\ &= \Big[ \left( L_{11}\mathbf{n} + \Gamma_{11}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{11}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{1})^{\prime}(t) + \left( L_{12}\mathbf{n} + \Gamma_{12}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{12}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{2})^{\prime}(t) \Big] \cdot P(t) \\ &= \Big[ \left(\Gamma_{11}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{11}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{1})^{\prime}(t) + \left(\Gamma_{12}^{1}\mathbf{x}_{1} + \Gamma_{12}^{2}\mathbf{x}_{2} \right)(\gamma^{2})^{\prime}(t) \Big] \cdot P(t) \end{align*} $$
二番目の等号は連鎖律により、三番目の等号は第2基本形式とクリストッフェル記号の定義によって成立する。四番目の等号は、$P$と$\mathbf{n}$が互いに垂直であるために成立する。
下のもの以外はすべて$0$である。
$$ \Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h} $$
これで、$0$になる項をすべて整理すると、以下のようになる。
$$ -\sin\phi (t) \phi^{\prime}(t) = \left\langle \dfrac{h_{1}}{h}(\gamma^{2})^{\prime}(t)\mathbf{x}_{2}, P(t) \right\rangle = \dfrac{h_{1}}{h}(\gamma^{2})^{\prime}(t) \left\langle \mathbf{x}_{2}, P(t) \right\rangle\tag{1} $$
$g_{11} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle = 1$であるため、$\mathbf{x}_{1}$は単位ベクトルであり、$g_{12} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = 0$であるため、$\mathbf{x}_{1} \perp \mathbf{x}_{2}$である。したがって、$\left\{ \mathbf{x}_{1}, \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{\left\| \mathbf{x}_{2} \right\|} \right\}$はタンジェント平面の正規直交基底となる。従って、タンジェント平面の要素$P$は、以下のように表される。
$$ P = \left\langle \mathbf{x}_{1}, P \right\rangle\mathbf{x}_{1} + \left\langle \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{\left\| \mathbf{x}_{2} \right\|}, P \right\rangle \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{\left\| \mathbf{x}_{2} \right\|} = \cos\phi \mathbf{x}_{1} + \sin\phi \dfrac{\mathbf{x}_{2}}{h} $$
また、$\left\langle \mathbf{x}_{2}, P \right\rangle = \left\| x_{2} \right\|^{2} \dfrac{\sin \phi}{h} = h\sin \phi$を$(1)$に代入すると、
$$ \phi^{\prime}(t) = -h_{1}(\gamma^{2})^{\prime}(t) $$
したがって、$\phi$の全角変動は
$$ \delta \phi = \int_{\boldsymbol{\gamma}} \phi^{\prime} dt = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1}(\gamma^{2})^{\prime}(t)dt = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} d\gamma^{2} = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} \tag{2} $$
さらに、以下の式が成立することを示す。
$$ \text{Claim: } \theta^{\prime} = k_{g} $$
$\theta (t) = \angle(P, T)$としたので、$\cos\theta (t) = \left\langle P, T \right\rangle$であり、これを微分すると、
$$ -\sin\theta (t)\theta^{\prime}(t) = \left\langle \dfrac{d P}{d t}, T \right\rangle + \left\langle P, \dfrac{d T}{d t} \right\rangle = \left\langle P, T^{\prime} \right\rangle $$
二番目の等号は、$dP/dt$が$\mathbf{n}$と平行であるために成立する。測地曲率の定義により、示したいものを以下のように得る。
$$ \begin{align*} \kappa_{g} = \left\langle \mathbf{S}, T^{\prime} \right\rangle &= \left\langle (\mathbf{n} \times T), T^{\prime} \right\rangle \\ &= \left\langle \mathbf{n}, (T \times T^{\prime}) \right\rangle \\ &= \left\langle \dfrac{P \times T}{\sin \theta}, (T\times T^{\prime}) \right\rangle & \because \dfrac{P \times T}{\left\| P \times T \right\|} = \mathbf{n} \\ &= \left\langle \dfrac{1}{\sin\theta} P, (T\times (T\times T^{\prime})) \right\rangle \\ &= \left\langle \dfrac{1}{\sin\theta} P, -T^{\prime} \right\rangle \\ &= \theta^{\prime}(t) \end{align*} $$
三番目、五番目の等号はスカラー三重積が交換可能であるために成立する。したがって、以下を得る。
$$ \delta \theta = \int_{\boldsymbol{\gamma}} \theta^{\prime} dt = \int_{\boldsymbol{\gamma}} k_{g}dt \tag{3} $$
$\alpha = \phi + \theta$であるため、
$$ \int_{\boldsymbol{\gamma}} \alpha^{\prime}dt = \int_{\boldsymbol{\gamma}} \phi^{\prime}dt + \int_{\boldsymbol{\gamma}} \theta^{\prime}dt $$
$(2)$と$(3)$により、以下を得る。
$$ \int_{\boldsymbol{\gamma}} \alpha^{\prime}dt + \sum_{i}\alpha_{i} = - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} + \int_{\boldsymbol{\gamma}} k_{g}dt + \sum_{i}\alpha_{i} $$
$\boldsymbol{\gamma}$は$\mathscr{R}$を囲むため、上の式の左辺は明らかに一周したときの角度変化、すなわち$2 \pi$である。
$$ {} - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} + \int_{\boldsymbol{\gamma}} k_{g}dt + \sum_{i}\alpha_{i} = 2 \pi $$
$$ \oint_{\partial \mathscr{R}} Pdx = - \iint_{\mathscr{R}} P_{y} dy dx $$
$$ K = -\dfrac{h_{11}}{h} $$
$$ dA = \sqrt{g} du^{1} du^{2} $$
左辺の最初の項は、グリーンの定理を利用すると、以下のように変更できる。
$$ \begin{align*} {} - \int_{\boldsymbol{\gamma}}h_{1} du^{2} &= - \iint_{\mathscr{R}}h_{11} du^{1}du^{2} \\ &= - \iint_{\mathscr{R}}\dfrac{h_{11}}{h} h du^{1}du^{2} \\ &= - \iint_{\mathscr{R}}\dfrac{h_{11}}{h} \sqrt{g} du^{1}du^{2} \\ &= \iint_{\mathscr{R}} K dA \end{align*} $$
最後に、以下の結論を得る。
$$ \iint_{R} K dA + \int_{\gamma} \kappa_{g} ds + \sum \alpha_{i} = 2\pi $$