logo

微分幾何学における零ホモトピー 📂幾何学

微分幾何学における零ホモトピー

定義1

閉曲線 γ\gamma曲面 MM上の領域 R\mathscr{R}囲むとしよう。σ\sigmaR\mathscr{R}上に置かれた周期がLLの閉曲線またはγ\gammaとする。そしてσ(0)=x0\sigma (0) = x_{0}とする。s[0,1]s \in [0,1]に対して次を満たす閉曲線σs\sigma_{s}が曲面MM上に存在する場合、σ\sigmaヌル・ホモトピックnull-homotopicという。

  • σs(0)=x0\sigma_{s}(0) = x_{0}
  • σ0(t)=σ(t)\sigma_{0}(t) = \sigma (t)そしてσ1(t)=x0\sigma_{1}(t) = x_{0}
  • σs(t)Rs[0,1],t(0,L)\sigma_{s}(t) \in \mathscr{R} \quad \forall s\in [0,1], t\in(0, L)
  • 次の関数Γ\Gammaが連続である。 Γ:[0,1]×[0,L]M given by Γ(s,t)=σs(t) \Gamma : [0,1] \times [0, L] \to M \text{ given by } \Gamma (s,t) = \sigma_{s}(t)

説明

言い換えると、σ\sigmaがヌル・ホモトピックであるとは、σ\sigmaR\mathscr{R}上で連続的に変化して一点x0x_{0}に収縮できるということだ。


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p182 ↩︎