📂複素解析

単純極限での流れ

定理 ¹

関数$f$を$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$と表せるとしよう。ここで$g$と$h$は$\alpha$で解析的であり、$g(\alpha) \ne 0 , h(\alpha) = 0, h ' (\alpha) \ne 0$とすると$\alpha$は$f$の単純極である。 $$\text{Res}_{\alpha} f(z) = {{g(\alpha)} \over {h ' (\alpha)}}$$

$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$の形で$h$が多項式である必要はないので、単に$m=1$に残留を限定した定理とは言えない。条件さえよく満たされれば、より多くの種類の関数$h$をカバーできるので、その応用は無限大である。

注意すべき一点は、定理をよく読むと、$f$が単純極$\alpha$を持つことは条件ではなく結果である点だ。

$\alpha$が単純極であることは示すべきことではなく、示されるべきことなので、$g$と$h$に関する条件にのみ注意すればよい。

証明

仮定より$h ' (\alpha) \ne 0$なので、$\displaystyle H(z) = {{ h(z) - h(\alpha) } \over { z - \alpha }}$として、さらに仮定$H(\alpha) = h ' (\alpha) \ne 0$より$h(\alpha) = 0$なので $$f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}} = {{g(z)} \over {h(z) - h(\alpha) }} = {{g(z)} \over {(z - \alpha) H(z) }}$$ $g / H$は$\alpha$で解析的であり、$\displaystyle {{g(\alpha)} \over {H(\alpha)}} \ne 0$なので、$\alpha$は$f$の$1$次の極である。

極での残留：$\alpha$が単純極であれば$\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha) f(z)$

極での残留は $$\begin{align*} \text{Res}_{\alpha} f(z) =& \lim_{z \to \alpha} g(z) {{1} \over {H(z)}} \\ =& \lim_{z \to \alpha} g(z) \cdot \lim_{z \to \alpha} {{z - \alpha} \over {h(z) - h(\alpha) }} \\ =& g(\alpha) \cdot {{1} \over {h ' (\alpha) }} \end{align*}$$

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2次極

式としての実用性は低いが、$2$に関して以下の定理が知られている。証明方法は本質的に単純極で行ったものと大きく異ならない。

$2$次極での残留: 関数$f$を$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$と表せるとする。ここで$g$と$h$は$\alpha$で解析的であり、$g(\alpha) \ne 0 , h(\alpha) = h ' (\alpha) = 0, h’’(\alpha) \ne 0$とすると、$\alpha$は$f$の$2$次極である、 $$\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = {{2g ' (\alpha)} \over {h’’(\alpha)}} - {{2g(\alpha) h’’’(\alpha) } \over {3 (h’’(\alpha))^2 }}$$