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n次元極座標 📂多変数ベクトル解析

n次元極座標

定義1

点x∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}のデカルト座標をx1,…,xnx_{1}, \dots, x_{n}とする。すると、この点の極座標r,φ1,…,φn−1r, \varphi_{1}, \dots, \varphi_{n-1}との関係は以下の通りだ。

xn=rcos⁡φ1xn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2xn−2=rsin⁡φ1cos⁡φ2⋮x4=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−3sin⁡φn−2x3=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−3cos⁡φn−2x2=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−2sin⁡φn−1x1=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1 \begin{align*} x_{n} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{n-1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \\ x_{n-2} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ \vdots& \\ x_{4} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \sin \varphi_{n-2} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} \\ \end{align*}

ここで、

0≤φi≤π (1≤i≤n−2),0≤φn−1≤2π 0 \le \varphi_{i} \le \pi \ (1 \le i \le n-2), \quad 0 \le \varphi_{n-1} \le 2\pi

説明

上に挙げた式は混乱するかもしれないが、まずxnx_{n}をrcos⁡φ1r\cos\varphi_{1}として、残りは下からx1,x2,…x_{1}, x_{2}, \dotsの式に従って値を設定すればいい。詳細は以下の例を参照。例では、二次元の場合は極座標、三次元の場合は球座標と説明しているが、必ずそう呼ぶ必要はない。物理学では一般的にnn次元を超えて扱うことはないので、この区別が重要で、実際にそれぞれが二次元、三次元を意味する。しかし、数学では、極座標や球座標という名前が次元によって限定される感じはずっと少ない。どう使うかは好みの問題のようだ。

n=2n=2

このケースを特に極座標と呼び、一般にθ=φ1\theta = \varphi_{1}で示される。するとx2x_{2}は

x2=xn=rcos⁡φ1=rcos⁡θ x_{2} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta

x1x_{1}は、n=2n=2を代入すると、

x1=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1=rsin⁡φ1=rsin⁡θ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} = r \sin \theta

したがって、

x2=y=rcos⁡θx1=x=rsin⁡θ \begin{align*} x_{2} &= y = r \cos \theta \\ x_{1} &= x = r \sin \theta \\ \end{align*}

∣x∣=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2=∣r∣ \left| \mathbf{x} \right| = r^{2} \cos^{2}\theta + r^{2} \sin^{2}\theta = r^{2} = \left| \mathbf{r} \right|

n=3n=3

この場合は特に球座標と呼び、一般にθ=φ1\theta = \varphi_{1}、ϕ=φ2\phi = \varphi_{2}で表される。x3x_{3}は、

x3=xn=rcos⁡φ1=rcos⁡θ x_{3} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta

x2x_{2}は、n=3n=3を代入すると、

x2=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2sin⁡φn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2=rsin⁡θsin⁡φ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} = r \sin \theta \sin \varphi

x1x_{1}は、n=3n=3を代入すると、

x1=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1=rsin⁡φ1cos⁡φ2=rsin⁡θcos⁡φ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} = r \sin \theta \cos \varphi

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したがって、

x3=z=rcos⁡θx2=y=rsin⁡θsin⁡φx1=x=rsin⁡θcos⁡φ \begin{align*} x_{3} &= z= r \cos \theta \\ x_{2} &= y= r \sin \theta \sin \varphi \\ x_{1} &= x= r \sin \theta \cos \varphi \end{align*}

∣x∣=x12+x22+x32=r2sin⁡2θcos⁡2φ+r2sin⁡2θsin⁡2φ+r2cos⁡2θ=r2sin⁡2θ+r2cos⁡2θ=r2=∣r∣ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} &= r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + r^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*}

n=4n=4

n=4n=4までやってみよう。x4x_{4}は、

x4=xn=rcos⁡φ1 x_{4} = x_{n} = r \cos \varphi_{1}

x3x_{3}は、n=4n=4を代入すると、

x3=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−3cos⁡φn−2=rsin⁡φ1cos⁡φ2 x_{3} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}

x2x_{2}は、n=4n=4を代入すると、

x2=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2sin⁡φn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2sin⁡φ3 x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}

x1x_{1}は、n=4n=4を代入すると、

x1=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2cos⁡φ3 x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}

したがって、

x4=rcos⁡φ1x3=rsin⁡φ1cos⁡φ2x2=rsin⁡φ1sin⁡φ2sin⁡φ3x1=rsin⁡φ1sin⁡φ2cos⁡φ3 \begin{align*} x_{4} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} \end{align*}

∣x∣=x12+x22+x32+x42=(rsin⁡φ1sin⁡φ2cos⁡φ3)+rsin⁡φ1sin⁡φ2sin⁡φ3=(r2sin⁡2φ1sin⁡2φ2cos⁡2φ3)+(r2sin⁡2φ1sin⁡2φ2sin⁡2φ3)+(r2sin⁡2φ1cos⁡2φ2)+(r2cos⁡2φ1)=(r2sin⁡2φ1sin⁡2φ2)+(r2sin⁡2φ1cos⁡2φ2)+(r2cos⁡2φ1)=(r2sin⁡2φ1)+(r2cos⁡2φ1)=r2=∣r∣ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| &= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} \\ &= (r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}) + r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}\\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \cos^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \sin^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*}

x≠0x \ne 0について、次を得る。

θ=x∣x∣∈Sn−1,x=rθ,r=∣x∣>0 \boldsymbol{\theta} = \dfrac{x}{\left| x \right|} \in S^{n-1}, \quad x = r\boldsymbol{\theta},\quad r = \left| x \right| > 0

この表現で、θ\boldsymbol{\theta}は角度ではないことに注意。デカルト座標θ1,…,θn\theta_{1}, \dots, \theta_{n}は、次の式で表される。

cos⁡φk−1=θkrk,sin⁡φk−1=rk−1rk−2,rk=(θ12,…,θk2)1/2 \cos \varphi_{k-1} = \dfrac{\theta_{k}}{r_{k}}, \quad \sin \varphi_{k-1} = \frac{r_{k-1}}{r_{k-2}},\quad r_{k} = \left( \theta_{1}^{2}, \dots, \theta_{k}^{2} \right)^{1/2}

さらに、Rn∖{0}\mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\}からR+×Sn−1\mathbb{R}_{+} \times S^{n-1}への写像x↦(r,θ)x \mapsto (r, \boldsymbol{\theta})は、連続かつ全単射である。

性質

以下の積分が成立する。f∈L1(Rn)f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})に対して、

∫Rxf(x)dx=∫Sn−1∫0∞f(rθ)rn−1drdθ \int_{\mathbb{R}^{x}} f(x) dx = \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{0}^{\infty} f(r \boldsymbol{\theta}) r ^{n-1}dr d\boldsymbol{\theta}

  1. Boris Rubin, Introduction to Radon Transforms With Elements of Fractional Calculus and Harmonic Analysis (2015), p26-27 ↩︎