📂多変数ベクトル解析

n次元極座標

定義¹

点$x \in \mathbb{R}^{n}$のデカルト座標を$x_{1}, \dots, x_{n}$とする。すると、この点の極座標$r, \varphi_{1}, \dots, \varphi_{n-1}$との関係は以下の通りだ。

$$ \begin{align*} x_{n} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{n-1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \\ x_{n-2} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ \vdots& \\ x_{4} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \sin \varphi_{n-2} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} \\ \end{align*} $$

ここで、

$$ 0 \le \varphi_{i} \le \pi \ (1 \le i \le n-2), \quad 0 \le \varphi_{n-1} \le 2\pi $$

説明

上に挙げた式は混乱するかもしれないが、まず$x_{n}$を$r\cos\varphi_{1}$として、残りは下から$x_{1}, x_{2}, \dots$の式に従って値を設定すればいい。詳細は以下の例を参照。例では、二次元の場合は極座標、三次元の場合は球座標と説明しているが、必ずそう呼ぶ必要はない。物理学では一般的に$n$次元を超えて扱うことはないので、この区別が重要で、実際にそれぞれが二次元、三次元を意味する。しかし、数学では、極座標や球座標という名前が次元によって限定される感じはずっと少ない。どう使うかは好みの問題のようだ。

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$n=2$

このケースを特に極座標と呼び、一般に$\theta = \varphi_{1}$で示される。すると$x_{2}$は

$$ x_{2} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta $$

$x_{1}$は、$n=2$を代入すると、

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} = r \sin \theta $$

したがって、

$$ \begin{align*} x_{2} &= y = r \cos \theta \\ x_{1} &= x = r \sin \theta \\ \end{align*} $$

$$ \left| \mathbf{x} \right| = r^{2} \cos^{2}\theta + r^{2} \sin^{2}\theta = r^{2} = \left| \mathbf{r} \right| $$

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$n=3$

この場合は特に球座標と呼び、一般に$\theta = \varphi_{1}$、$\phi = \varphi_{2}$で表される。$x_{3}$は、

$$ x_{3} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta $$

$x_{2}$は、$n=3$を代入すると、

$$ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} = r \sin \theta \sin \varphi $$

$x_{1}$は、$n=3$を代入すると、

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} = r \sin \theta \cos \varphi $$

したがって、

$$ \begin{align*} x_{3} &= z= r \cos \theta \\ x_{2} &= y= r \sin \theta \sin \varphi \\ x_{1} &= x= r \sin \theta \cos \varphi \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} &= r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + r^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*} $$

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$n=4$

$n=4$までやってみよう。$x_{4}$は、

$$ x_{4} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} $$

$x_{3}$は、$n=4$を代入すると、

$$ x_{3} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} $$

$x_{2}$は、$n=4$を代入すると、

$$ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} $$

$x_{1}$は、$n=4$を代入すると、

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} $$

したがって、

$$ \begin{align*} x_{4} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| &= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} \\ &= (r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}) + r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}\\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \cos^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \sin^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*} $$

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$x \ne 0$について、次を得る。

$$ \boldsymbol{\theta} = \dfrac{x}{\left| x \right|} \in S^{n-1}, \quad x = r\boldsymbol{\theta},\quad r = \left| x \right| > 0 $$

この表現で、$\boldsymbol{\theta}$は角度ではないことに注意。デカルト座標$\theta_{1}, \dots, \theta_{n}$は、次の式で表される。

$$ \cos \varphi_{k-1} = \dfrac{\theta_{k}}{r_{k}}, \quad \sin \varphi_{k-1} = \frac{r_{k-1}}{r_{k-2}},\quad r_{k} = \left( \theta_{1}^{2}, \dots, \theta_{k}^{2} \right)^{1/2} $$

さらに、$\mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\}$から$\mathbb{R}_{+} \times S^{n-1}$への写像$x \mapsto (r, \boldsymbol{\theta})$は、連続かつ全単射である。

性質

以下の積分が成立する。$f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$に対して、

$$ \int_{\mathbb{R}^{x}} f(x) dx = \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{0}^{\infty} f(r \boldsymbol{\theta}) r ^{n-1}dr d\boldsymbol{\theta} $$