有理数
定義1
整数集合 $\mathbb{Z}$ が与えられているとする。以下のような デカルト積 を考える。
$$ \begin{align*} S &= \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \left\{ 0 \right\}) \\ &= \left\{ (a, b) : a \in \mathbb{Z} \text{ and } b \in \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0 \right\} \right\} \end{align*} $$
そして 同値関係 $\sim$ を以下のように定義する。
$$ (a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc $$
$\sim$による $S$の 商集合 を 有理数集合the rationals, set of all rational numbers と定義し、次のように表記する。
$$ \mathbb{Q} := S/\sim $$
$\mathbb{Q}$の元を 有理数rational number と呼ぶ。
説明
定義により有理数とは、2つの整数 $a$ と $b \ne 0$ の 順序対 $(a, b)$ の 同値類 $(a, b)/\sim$ である。これを簡単に順序対 $(a, b)$ と表すこともできるし、より一般的な表現はスラッシュ(/) やダッシュ(-) を用いるもので、下のような表現を 分数fraction と呼ぶ。
$$ \frac{a}{b} = a/b = (a, b)/\sim $$
整数との関係
各整数 $n \in \mathbb{N}$ は有理数 $n/1$ として表現できる。すなわち $\mathbb{Z} = \left\{ n/1 : n \in \mathbb{Z} \right\}$ と見なせ、整数集合は有理数集合の部分集合である。
$$ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $$