微分可能多様体のコンパクトな表面
📂幾何学微分可能多様体のコンパクトな表面
定義
Br={p∈R3:∣p∣≤r}としよう。曲面M⊂R3について、次を満たすrが存在するなら、Mを有界と言う。
M⊂Br
M上の全ての点の数列{pn}が以下の式を満たすなら、つまりM上の点pに収束するなら、Mを閉じていると言う。
∃n→∞limpn=p,p∈M
- 曲面Mが有界で、閉じているなら、コンパクトと言う。
説明
上の定義はRで定義された有界、閉じている、コンパクトを、曲面上で再定義したに過ぎない。
補題
Mをコンパクトな曲面、r=min{r∣M⊂Br}としよう。すると∣p∣=rなるp∈Mが存在する。つまり、
∃p∈M such that ∣p∣=randM∩Sr=∅
ここで、Srは半径がrの球である。
証明
n>0について、rn=r−n1としよう。すると、
M−Brn=∅
今、pj∈M−Brjとしよう。すると、Mが有界であり、pj∈Mであるから、ある点p∈R3に収束する部分数列が存在する。
∃subsequnce {pnj} such that j→∞limpnj=p∈R3
Mが閉じているため、
p∈M,∣p∣=r
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定理
Mをコンパクトな曲面としよう。すると、ガウス曲率が正の点pが存在する。
∃p∈M such that K(p)>0
証明
補題によると、
r=min{r:M⊂Br}⟹Sr∩M=∅
Claim: K(p)>0は任意のp∈Sr∩Mについて成り立つ
p∈Sr∩Mとしよう。すると、SrとMはpで同じ単位法線ベクトルを持つ。従って、点pでの接平面が同じである。
TpSr=TpM
今、X∈TpSr∩TpMとしよう。そして、Πによって{n,X}として生成される平面だとしよう。すると、X方向のMの法曲率κnは、Π∩Mの曲率と同じである。しかし、これはSrのpでの法曲率と同じ符号を持つ。従って、∣κn∣≥r1であり、κ1,κ2を主曲率と呼ぶなら、
K=κ1κ2≥r21>0
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