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微分可能多様体のコンパクトな表面 📂幾何学

微分可能多様体のコンパクトな表面

定義1

  • Br={pR3:pr}\overline{B}_{r} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left| p \right| \le r \right\}としよう。曲面MR3M \subset \mathbb{R}^{3}について、次を満たすrrが存在するなら、MM有界と言う。 MBr M \subset \overline{B}_{r}

  • MM上の全ての点の数列{pn}\left\{ p_{n} \right\}が以下の式を満たすなら、つまりMM上の点pp収束するなら、MM閉じていると言う。

limnpn=p,pM \exist \lim\limits_{n \to \infty}p_{n} = p,\quad p \in M

  • 曲面MMが有界で、閉じているなら、コンパクトと言う。

説明

上の定義はR\mathbb{R}で定義された有界閉じているコンパクトを、曲面上で再定義したに過ぎない。

補題

MMをコンパクトな曲面、r=min{rMBr}r = \min \left\{r | M \subset \overline{B_{r}}\right\}としよう。するとp=r\left| p \right| = rなるpMp \in Mが存在する。つまり、

pM such that p=randMSr \exists p \in M \text{ such that } \left| p \right| = r \quad \text{and} \quad M\cap S_{r} \ne \varnothing

ここで、SrS_{r}は半径がrrの球である。

証明

n>0n \gt 0について、rn=r1nr_{n} = r - \dfrac{1}{n}としよう。すると、

MBrn M - \overline{B_{r_{n}}} \ne \varnothing

今、pjMBrjp_{j} \in M - \overline{B_{r_{j}}}としよう。すると、MMが有界であり、pjMp_{j} \in Mであるから、ある点pR3p \in \mathbb{R}^{3}に収束する部分数列が存在する。

subsequnce {pnj} such that limjpnj=pR3 \exists \text{subsequnce } \left\{ p_{n_{j}} \right\} \text{ such that } \lim\limits_{j\to \infty} p_{n_{j}} = p \in \mathbb{R}^{3}

MMが閉じているため、

pM,p=r p \in M,\quad \left| p \right| = r

定理

MMをコンパクトな曲面としよう。すると、ガウス曲率が正の点ppが存在する。

pM such that K(p)>0 \exists p \in M \text{ such that } K(p) \gt 0

証明

補題によると、

r=min{r:MBr}    SrM r = \min\left\{ r : M \subset \overline{B_{r}}\right\} \implies S_{r} \cap M \ne \varnothing

Claim: K(p)>0K(p) \gt 0は任意のpSrMp \in S_{r}\cap Mについて成り立つ

pSrMp \in S_{r}\cap Mとしよう。すると、SrS_{r}MMppで同じ単位法線ベクトルを持つ。従って、点ppでの接平面が同じである。

TpSr=TpM T_{p}S_{r} = T_{p}M

今、XTpSrTpM\mathbf{X} \in T_{p}S_{r} \cap T_{p}Mとしよう。そして、Π\Piによって{n,X}\left\{\mathbf{n}, X\right\}として生成される平面だとしよう。すると、X\mathbf{X}方向のMM法曲率κn\kappa_{n}は、ΠM\Pi \cap Mの曲率と同じである。しかし、これはSrS_{r}ppでの法曲率と同じ符号を持つ。従って、κn1r\left| \kappa_{n} \right| \ge \frac{1}{r}であり、κ1,κ2\kappa_{1}, \kappa_{2}主曲率と呼ぶなら、

K=κ1κ21r2>0 K = \kappa_{1}\kappa_{2} \ge \dfrac{1}{r^{2}} \gt 0


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p174 ↩︎