📂幾何学

正の曲率をもつ2つの回転面は局所的に等距離である

定理¹

$M_{1}$、$M_{2}$をそれぞれ単位速度曲線 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$、$\boldsymbol{\alpha}_{2}$の回転面としよう。もし$M_{1}$、$M_{2}$が一定の曲率 $a^{2} \gt 0$を持つ場合、$M_{1}$と$M_{2}$は局所等距離である。

証明

補題

以下の二つの命題は等価である。

• 二つの曲面 $M$ と $N$ が局所等距離である。

• すべての $p \in M$ に対して、開集合 $U \subset \mathbb{R}^{2}$ と第一基本形式の係数 $g_{ij}$ が同じである二つの座標片写像 $\mathbf{x} : U \to M$、$\mathbf{y} : U \to N$ $(p \in \mathbf{x}(U))$ が存在する。

上記の補題に基づき、曲率が $K = a^{2}$ のすべての回転面が同じメトリック行列を持つことができることを示せばよい。したがって、以下の主張を証明しようとしている。

主張: 曲率が$K = a^{2}$のすべての回転面に対して、$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a^{2}}\cos^{2}as \end{bmatrix}$をメトリック係数行列とする座標片写像が存在する。

単位速度曲線 $\boldsymbol{\alpha}(s) = (r(s), z(s))$によって生成される回転面の座標片写像は$\mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right)$である。曲率が$K = a^{2} > 0$の回転面の座標系$(s, \theta)$に対するメトリックは以下の通りである。

$$\begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A^{2} \cos^{2}(as) \end{bmatrix}$$

新しい座標系$(s, \phi), \phi = a A \theta$を考えよう。$f : (s, \phi) \mapsto (s, \theta)$とすると、$f$のヤコビアンは以下の通りである。

$$J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s}{\partial s} & \dfrac{\partial s}{\partial \phi} \\[1em] \dfrac{\partial \theta}{\partial s} & \dfrac{\partial \theta}{\partial \phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{aA} \end{bmatrix}$$

したがって、新しい座標系のメトリック行列を$\begin{bmatrix}\overline{g}_{\alpha \beta}\end{bmatrix}$とすると、座標変換とメトリックの関係により、

$$\begin{align*} \begin{bmatrix}\overline{g}_{\alpha \beta}\end{bmatrix} &= J^{t} \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} J \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{aA} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A^{2} \cos^{2}(as) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{aA} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a^{2}}\cos^{2}(as) \end{bmatrix} \end{align*}$$

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