📂幾何学

二つの曲面の間で微分可能な関数

定義¹

２つの曲面$M, N$の間の関数$f : M \to N$が与えられたとする。点$p \in M$, $f(p) \in N$を含む座標片マッピングを$\mathbf{x} : U \to M$, $\mathbf{y} : V \to N$と言おう。もし$\mathbf{y}^{-1} \circ f \circ \mathbf{x} : U \to V$が微分可能なら、$f$を点$p$で微分可能だと言う。

説明

２つの曲面$M, N$も結局$\mathbb{R}^{3}$の部分集合なのに、一般の微分のように$f$の微分可能性を考えない理由は何だろう？この答えは下の形でかんたんに

$$ f^{\prime}(p) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(p+h) - f(p)}{h} $$

分子の$f(p+h) - f(p)$が$M$に属しない可能性があるからだ。つまり、一般に曲面上の点は加算に対して閉じていない。半径が$1$の球を考えても、任意の２点を足すと球面を出ると分かる。

だから、$M$と$N$の座標片で$\mathbf{y}^{-1} \circ f \circ \mathbf{x}$を考える。すると、この関数は$\mathbb{R}^{2}$の平らな部分集合である$U$から$V$への関数なので、私たちが知っている一般の微分について話せるようになる。

$$ \mathbf{y}^{-1} \circ f \circ \mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{2} \to V \subset \mathbb{R}^{2} $$