📂量子力学

同時固有関数を持つ二つの演算子は交換可能です。

定理

異なる2つの演算子が同じ固有関数を持つと、2つの演算子は可換になる。つまり次の式が成立すると、$[A, B] = 0$ということだ。

$$\begin{cases} A\psi=a\psi \\ B\psi=b\psi \end{cases}$$

この時、$\psi$は規格化された固有関数だ。

逆

上記の定理の逆も成立する。つまり2つの演算子が可換であることと同時固有関数を持つことは必要十分条件だ。

説明

2つの演算子が共通に持つ固有関数$\psi$を教科書では同時固有関数^{simultaneous eigenfunction}と呼ぶこともある。¹

証明

$$\begin{align*} AB\psi &= Ab\psi \\ &= bA\psi \\ &= ba\psi \\ &= ab\psi \\ &= aB\psi \\ &= Ba\psi \\ &= BA\psi \end{align*}$$

$$\implies AB \psi - BA \psi = (AB-BA) \psi = 0$$

$$\implies (AB - BA) = [A, B] = 0$$

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逆

2つの演算子$A$,$B$が可換であるとしよう。そして各演算子に対する固有値方程式が次のようであるとしよう。

$$A\psi_{a} = a\psi_{a} \\ B\psi_{b} = b\psi_{b}$$