📂幾何学

ガウス写像の定義とガウス曲率との関係

定義¹

曲面 $M$ の各点 $p$ を単位法線に写像する関数 $\nu$ を ガウス写像^{Gauss map}と呼ぶ。

$$\nu : M \to \mathbb{S}^{2} \quad \text{and} \quad \nu (p) = \mathbf{n}_{p}$$

説明

ガウス写像は、normal spherical imageとも呼ばれる。

定理

曲面上のある領域 $\mathscr{R}$ について $A(\mathscr{R})$ を$\mathscr{R}$ の面積としよう。すると以下が成り立つ。

$$K = \lim \limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})}$$

ここで $K$ はガウス曲率である。

証明

$\mathbf{n} : \mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R}) \to \mathbb{S}^{2}$ が正則であると仮定しよう。そうすると、座標チャート写像になる。

$$\dfrac{\partial \mathbf{n}}{\partial u_{1}} \times \dfrac{\partial \mathbf{n}}{\partial u_{2}} \ne 0$$

$\mathbf{n}$自体が座標チャート写像であるので、次のように書ける。

$$A( \nu (\mathscr{R})) = \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} \left[ \mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{m} \right] du^{1}du^{2}$$

$$\mathbf{m} = \dfrac{\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}}{\left\| \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} \right\|}$$

しかし $\mathbf{m}$ は $\mathbb{S}^{2}$ の法線なので、実際は $\mathbf{n} = \mathbf{m}$ である。

$$\lim \limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})} = \dfrac{\left[ \mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n} \right]}{\left[ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right]}$$

スカラー三重積を計算すると、

$$\begin{align*} (\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}) \cdot \mathbf{n} &= \left( L(\mathbf{x}_{1})\times L(\mathbf{x}_{2}) \right) \cdot \mathbf{n} \\ &= \left( \left( {L^{1}}_{1}\mathbf{x}_{1} + {L^{2}}_{1}\mathbf{x}_{2} \right) \times \left( {L^{1}}_{2}\mathbf{x}_{1} + {L^{2}}_{2}\mathbf{x}_{2} \right) \right) \cdot \mathbf{n} \\ &= \left( {L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{2}}_{1}{L^{1}}_{2} \right) (\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}) \cdot \mathbf{n} \end{align*}$$

この場合、${L^{i}}_{j} = \sum \limits_{k} L_{kj}g^{ki}$である。従って

$$\begin{align*} \lim \limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})} &= \dfrac{\left[ \mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n} \right]}{\left[ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right]} \\[1em] &= \dfrac{\left( {L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{2}}_{1}{L^{1}}_{2} \right) (\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}) \cdot \mathbf{n}}{(\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}) \cdot \mathbf{n}} \\[1em] &= \left( {L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{2}}_{1}{L^{1}}_{2} \right) \\ &= \det ([L_{j}^{i}]) \\ &= K \end{align*}$$

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