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微分幾何学におけるオイラーの定理 📂幾何学

微分幾何学におけるオイラーの定理

定理1

Y\mathbf{Y}を点ppでの曲面MMの単位タンジェントベクトルとしよう。

YTpMandY=1 \mathbf{Y} \in T_{p}M \quad \text{and} \quad \left\| \mathbf{Y} \right\| = 1

κ1κ2\kappa_{1} \ge \kappa_{2}ppでの主曲率とする。すると、次の式が成立する。

II(Y,Y)=κ1cos2θ+κ2sin2θ II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \kappa_{1} \cos^{2} \theta + \kappa_{2} \sin^{2} \theta

このとき、IIII第二基本形式を、X1\mathbf{X}_{1}κ1\kappa_{1}に対応する主方向を、θ\thetaY\mathbf{Y}X1\mathbf{X}_{1}の間の角度を意味する。

証明

主曲率の定義により、次が成り立つ。

L(Xi)=κiX1,i=1,2 L(\mathbf{X}_{i}) = \kappa_{i} \mathbf{X}_{1},\quad i=1,2

また、Y\mathbf{Y}が単位ベクトルであり、{X1,X2}\left\{ \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\}TpMT_{p}Mの正規直交基底であるので、X1\mathbf{X}_{1}の間の角度をθ\thetaとすると、次のように表現できる。

Y=cosθX1+sinθX2 \mathbf{Y} = \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2}

したがって、次を得る。II(Y,Y)=L(Y),YII (\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \left\langle L(\mathbf{Y}), \mathbf{Y} \right\rangleなので、

II(Y,Y)= L(Y),Y= L(cosθX1+sinθX2),cosθX1+sinθX2= cosθL(X1)+sinθL(X2),cosθX1+sinθX2= κ1cosθX1+κ2sinθX2,cosθX1+sinθX2= κ1cos2θ+κ2sin2θ \begin{align*} II (\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) =&\ \left\langle L(\mathbf{Y}), \mathbf{Y} \right\rangle \\ =&\ \left\langle L(\cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2}), \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \cos \theta L(\mathbf{X}_{1}) + \sin \theta L(\mathbf{X}_{2}), \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \kappa_{1} \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \kappa_{2} \sin \theta \mathbf{X}_{2}, \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \kappa_{1} \cos^{2} \theta + \kappa_{2} \sin^{2} \theta \end{align*}


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p129 ↩︎