📂幾何学

微分幾何学におけるオイラーの定理

定理¹

$\mathbf{Y}$を点$p$での曲面$M$の単位タンジェントベクトルとしよう。

$$ \mathbf{Y} \in T_{p}M \quad \text{and} \quad \left\| \mathbf{Y} \right\| = 1 $$

$\kappa_{1} \ge \kappa_{2}$を$p$での主曲率とする。すると、次の式が成立する。

$$ II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \kappa_{1} \cos^{2} \theta + \kappa_{2} \sin^{2} \theta $$

このとき、$II$は第二基本形式を、$\mathbf{X}_{1}$は$\kappa_{1}$に対応する主方向を、$\theta$は$\mathbf{Y}$と$\mathbf{X}_{1}$の間の角度を意味する。

証明

主曲率の定義により、次が成り立つ。

$$ L(\mathbf{X}_{i}) = \kappa_{i} \mathbf{X}_{1},\quad i=1,2 $$

また、$\mathbf{Y}$が単位ベクトルであり、$\left\{ \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\}$が$T_{p}M$の正規直交基底であるので、$\mathbf{X}_{1}$の間の角度を$\theta$とすると、次のように表現できる。

$$ \mathbf{Y} = \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} $$

したがって、次を得る。$II (\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \left\langle L(\mathbf{Y}), \mathbf{Y} \right\rangle$なので、

$$ \begin{align*} II (\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) =&\ \left\langle L(\mathbf{Y}), \mathbf{Y} \right\rangle \\ =&\ \left\langle L(\cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2}), \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \cos \theta L(\mathbf{X}_{1}) + \sin \theta L(\mathbf{X}_{2}), \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \kappa_{1} \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \kappa_{2} \sin \theta \mathbf{X}_{2}, \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \kappa_{1} \cos^{2} \theta + \kappa_{2} \sin^{2} \theta \end{align*} $$

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