微分幾何学におけるオイラーの定理
📂幾何学微分幾何学におけるオイラーの定理
定理
Yを点pでの曲面Mの単位タンジェントベクトルとしよう。
Y∈TpMand∥Y∥=1
κ1≥κ2をpでの主曲率とする。すると、次の式が成立する。
II(Y,Y)=κ1cos2θ+κ2sin2θ
このとき、IIは第二基本形式を、X1はκ1に対応する主方向を、θはYとX1の間の角度を意味する。
証明
主曲率の定義により、次が成り立つ。
L(Xi)=κiX1,i=1,2
また、Yが単位ベクトルであり、{X1,X2}がTpMの正規直交基底であるので、X1の間の角度をθとすると、次のように表現できる。
Y=cosθX1+sinθX2
したがって、次を得る。II(Y,Y)=⟨L(Y),Y⟩なので、
II(Y,Y)===== ⟨L(Y),Y⟩ ⟨L(cosθX1+sinθX2),cosθX1+sinθX2⟩ ⟨cosθL(X1)+sinθL(X2),cosθX1+sinθX2⟩ ⟨κ1cosθX1+κ2sinθX2,cosθX1+sinθX2⟩ κ1cos2θ+κ2sin2θ
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