📂幾何学

第2標準形式とヴィンガルテンマップの関係

定理¹

曲面上の点$p$に対して$\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M$を接ベクトルとしよう。すると、以下が成り立つ。

$$II(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{Y} \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}, L(\mathbf{Y}) \right\rangle$$

ここで、$L$はヴァインガルテンマップである。

説明

つまり、ヴァインガルテンマップ$L$は自己共役^{self-adjoint, symmetric}な線形変換である。

証明

ヴァインガルテンマップの性質

${L^{l}}_{k} = \sum \limits_{i} L_{ik}g^{il}$と定義すると、以下が成り立つ。

$$L(\mathbf{x}_{k}) = \sum_{l} {L^{l}}_{k}\mathbf{x}_{l}$$

ここで、$L_{ij}$は第二基本形式の係数、$[g^{il}]$は第一基本形式係数行列の逆行列である。

$\mathbf{X} = X^{i}\mathbf{x}_{i}, \mathbf{Y} = Y^{j}\mathbf{x}_{j}$としよう。すると、ヴァインガルテンマップの性質により、以下が成り立つ。アインシュタインの記法を使用すると、

$$\begin{align*} \left\langle L(\mathbf{X}) , \mathbf{Y} \right\rangle =&\ \left\langle X^{i}{L^{l}}_{i}\mathbf{x}_{l}, Y^{j}\mathbf{x}_{j} \right\rangle \\ =&\ X^{i}Y^{j}{L^{l}}_{i} \left\langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle \\ =&\ X^{i}Y^{j}{L^{l}}_{i} g_{lj} \\ =&\ X^{i}Y^{j}L_{ki}g^{kl} g_{lj} \\ =&\ X^{i}Y^{j}L_{ki}\delta_{j}^{k} \\ =&\ X^{i}Y^{j}L_{ji} \\ =&\ II(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \end{align*}$$

$\left\langle \mathbf{X}, L(\mathbf{Y}) \right\rangle$についても同様の方法で同じ結果を得る。

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