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異なる固有値を持つ2つの固有ベクトルは直交する。 📂量子力学

異なる固有値を持つ2つの固有ベクトルは直交する。

定理

任意のエルミート演算子AAの異なる固有値に対する二つの固有関数は互いに直交している。

{Aψn=anψnAψm=amψm \begin{cases} A\psi_{n}=a_{n}\psi_{n} \\ A\psi_{m}=a_{m}\psi_{m} \end{cases}

もしan≠ama_{n} \ne a_{m}の場合、

⟨ψn∣ψm⟩=0 \braket{\psi_{n} | \psi_{m}} = 0

証明

エルミート演算子の固有値は常に実数なので、次が成立する。

⟨Aψn∣ψm⟩=an∗⟨ψn∣ψm⟩=an⟨ψn∣ψm⟩ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m} } ={a_{n}}^{\ast}\braket{\psi_{n}|\psi_{m} } =a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}

さらに、エルミート演算子の定義により、

⟨Aψn∣ψm⟩=⟨ψn∣A†ψm⟩=⟨ψn∣Aψm⟩=am⟨ψn∣ψm⟩ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A^{\dagger}\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A\psi_{m}} = a_{m} \braket{\psi_{n} | \psi_{m}}

したがって、上記の二つの式を引くと次のようになる。

0=⟨Aψn∣ψm⟩−⟨Aψn∣ψm⟩=am⟨ψn∣ψm⟩−an⟨ψn∣ψm⟩ 0 = \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}- \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}} = a_{m}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} - a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}   ⟹  (am−an)⟨ψn∣ψm⟩=0 \implies (a_{m}-a_{n})\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0

この時am≠ana_{m} \ne a_{n}なので⟨ψn∣ψm⟩=0\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0。

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