異なる固有値を持つ2つの固有ベクトルは直交する。
定理
任意のエルミート演算子$A$の異なる固有値に対する二つの固有関数は互いに直交している。
$$ \begin{cases} A\psi_{n}=a_{n}\psi_{n} \\ A\psi_{m}=a_{m}\psi_{m} \end{cases} $$
もし$a_{n} \ne a_{m}$の場合、
$$ \braket{\psi_{n} | \psi_{m}} = 0 $$
証明
エルミート演算子の固有値は常に実数なので、次が成立する。
$$ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m} } ={a_{n}}^{\ast}\braket{\psi_{n}|\psi_{m} } =a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} $$
さらに、エルミート演算子の定義により、
$$ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A^{\dagger}\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A\psi_{m}} = a_{m} \braket{\psi_{n} | \psi_{m}} $$
したがって、上記の二つの式を引くと次のようになる。
$$ 0 = \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}- \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}} = a_{m}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} - a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} $$ $$ \implies (a_{m}-a_{n})\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0 $$
この時$a_{m} \ne a_{n}$なので$\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0$。
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