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最短距離の曲線であれば、それは測地線である 📂幾何学

最短距離の曲線であれば、それは測地線である

サマリー1

γ\boldsymbol{\gamma}を曲面MM上の二点P=γ(a),Q=γ(b)P = \boldsymbol{\gamma}(a), Q = \boldsymbol{\gamma}(b)を結ぶ単位速度曲線としよう。もしγ\boldsymbol{\gamma}がPPとQQを結ぶ最短距離曲線であれば、γ\boldsymbol{\gamma}は測地線である。

説明

逆は成り立たない。つまり、測地線が最短距離曲線であるわけではない。

証明

**戦略：**背理法で証明する。示すべきはκg=0\kappa_{g} = 0なので、κg≠0\kappa_{g} \ne 0と仮定して、これが矛盾に至ることを示せばよい。

a<s0<ba \lt s_{0} \lt bとし、γ\boldsymbol{\gamma}の測地曲率をκg\kappa_{g}としよう。κg(s0)≠0\kappa_{g}(s_{0}) \ne 0と仮定しよう。すると、γ\boldsymbol{\gamma}は連続なので、次が成り立つc,dc, dが存在する。

  • κg([c,d])≠0\kappa_{g}([c,d]) \ne 0
  • a<c<s0<d<ba \lt c \lt s_{0} \lt d \lt b
  • 座標片写像 x\mathbf{x}において、γ([c,d])⊂x(U)\boldsymbol{\gamma}([c,d]) \subset \mathbf{x}(U)

次にλ:[c,d]→R\lambda : [c,d] \to \mathbb{R}関数を以下のように定義しよう。

λ(c)=λ(d)=0andλ(s0)≠0andλ(s)κg(s)≥0 for c≤s≤d \lambda (c) = \lambda (d) = 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s_{0}) \ne 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s)\kappa_{g}(s) \ge 0 \quad \text{ for } c\le s \le d

S=n×γ′\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \boldsymbol{\gamma}^{\prime}は接空間にあるので、何らかのvi:[c,d]→Rv^{i} : [c,d] \to \mathbb{R}についてλ(s)S=∑vi(s)xi\lambda (s) \mathbf{S} = \sum v^{i}(s)\mathbf{x}_{i}としよう。

γ(s)=x(γ1(s),γ2(s))\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}(\gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s))として与えられたとしよう。そしてttが十分小さいときのγ\boldsymbol{\gamma}の摂動α(s;t)\boldsymbol{\alpha}(s ;t)を以下のように考えよう。

Slide17.PNG

α(s;t)=x(γ1(s)+tv1(s),γ2(s)+tv2(s)) \boldsymbol{\alpha}(s ;t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s) + t v^{1}(s), \gamma^{2}(s) + t v^{2}(s) \right)

α\boldsymbol{\alpha}はγ(c)\boldsymbol{\gamma}(c)からγ(d)\boldsymbol{\gamma}(d)への曲線であり、α(s;0)=γ(s)\boldsymbol{\alpha}(s ; 0) = \boldsymbol{\gamma}(s)である。α(s;t)\boldsymbol{\alpha}(s; t)の長さをL(t)L(t)としよう。

L(t)=∫cd⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds L(t) = \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds

するとα(s,0)=γ\boldsymbol{\alpha}(s, 0) = \boldsymbol{\gamma}で、γ\boldsymbol{\gamma}は最短距離曲線なので、L(t)L(t)はt=0t = 0のとき最小値を持つ。またL(0)<L(t∗≠0)L(0) \lt L(t^{\ast} \ne 0)であるため、L′(0)=0L^{\prime}(0) = 0である。一方でL′L^{\prime}を計算してみると、

L′(t)= ddt∫cd⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds=∫cd∂∂t⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds= ∫cd122⟨∂2α∂t∂s,∂α∂s⟩⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds=∫cd⟨∂2α∂t∂s,∂α∂s⟩⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds \begin{align*} L^{\prime}(t) =&\ \dfrac{d }{d t} \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds = \int_{c}^{d} \dfrac{\partial }{\partial t}\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds \\[1em] =&\ \int_{c}^{d} \dfrac{1}{2} \dfrac{2\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds = \int_{c}^{d}\dfrac{\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds \end{align*}

このときγ\boldsymbol{\gamma}が単位速度曲線であるため、t=0t=0のとき

⟨∂α∂s,∂α∂s⟩=⟨∂γ∂s,∂γ∂s⟩=1 \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s} \right\rangle = 1

したがって、

L′(0)=∫cd⟨∂2α∂t∂s,∂α∂s⟩∣t=0ds L^{\prime}(0) = \int_{c}^{d} \left. \left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} ds

ここでdds⟨∂α∂t,∂α∂s⟩=⟨∂2α∂s∂t,∂α∂s⟩+⟨∂α∂t,∂2α∂s2⟩\dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s \partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle + \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangleなので、上記の式に代入すると、

L′(0)= ∫cddds⟨∂α∂t,∂α∂s⟩∣t=0−⟨∂α∂t,∂2α∂s2⟩∣t=0ds= [⟨∂α∂t,∂α∂s⟩∣t=0]cd−∫cd⟨∂α∂t,∂2α∂s2⟩∣t=0ds \begin{align*} L^{\prime}(0) =&\ \int_{c}^{d} \left. \dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} - \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \\[1em] =&\ \left[ \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} \right]_{c}^{d} - \int_{c}^{d}\left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \end{align*}

この時点で∂α∂t∣t=0=∑vi(s)xi=λ(s)S\left. \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t} \right|_{t=0} = \sum v^{i}(s) \mathbf{x}_{i} = \lambda (s) \mathbf{S}であるが、λ(c)=λ(d)=0\lambda (c) = \lambda (d)=0であるため、第一項は00である。したがって、∂2α∂s2∣t=0=γ′′=κgS+κnn\left. \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}}\right|_{t=0} = \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} = \kappa_{g}\mathbf{S} + \kappa_{n}\mathbf{n}でありL′(0)=0L^{\prime}(0) = 0であったので、

0=L′(0)= 0−∫cd⟨λ(s)S,κg(s)S+κn(s)n⟩ds= −∫cdλ(s)κg(s)ds \begin{align*} 0 = L^{\prime}(0) =&\ 0 - \int_{c}^{d} \left\langle \lambda (s) \mathbf{S}, \kappa_{g}(s) \mathbf{S} + \kappa_{n}(s) \mathbf{n} \right\rangle ds \\ =&\ -\int _{c}^{d} \lambda (s) \kappa_{g}(s) ds \end{align*}

しかし、この時点でλ(s)κg(s)>0\lambda (s) \kappa_{g}(s) \gt 0と仮定していたので、矛盾がある。

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  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p113 ↩︎