📂幾何学

最短距離の曲線であれば、それは測地線である

サマリー¹

$\boldsymbol{\gamma}$を曲面$M$上の二点$P = \boldsymbol{\gamma}(a), Q = \boldsymbol{\gamma}(b)$を結ぶ単位速度曲線としよう。もし$\boldsymbol{\gamma}$が$P$と$Q$を結ぶ最短距離曲線であれば、$\boldsymbol{\gamma}$は測地線である。

説明

逆は成り立たない。つまり、測地線が最短距離曲線であるわけではない。

証明

**戦略：**背理法で証明する。示すべきは$\kappa_{g} = 0$なので、$\kappa_{g} \ne 0$と仮定して、これが矛盾に至ることを示せばよい。

---

$a \lt s_{0} \lt b$とし、$\boldsymbol{\gamma}$の測地曲率を$\kappa_{g}$としよう。$\kappa_{g}(s_{0}) \ne 0$と仮定しよう。すると、$\boldsymbol{\gamma}$は連続なので、次が成り立つ$c, d$が存在する。

• $\kappa_{g}([c,d]) \ne 0$
• $a \lt c \lt s_{0} \lt d \lt b$
• 座標片写像 $\mathbf{x}$において、$\boldsymbol{\gamma}([c,d]) \subset \mathbf{x}(U)$

次に$\lambda : [c,d] \to \mathbb{R}$関数を以下のように定義しよう。

$$ \lambda (c) = \lambda (d) = 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s_{0}) \ne 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s)\kappa_{g}(s) \ge 0 \quad \text{ for } c\le s \le d $$

$\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \boldsymbol{\gamma}^{\prime}$は接空間にあるので、何らかの$v^{i} : [c,d] \to \mathbb{R}$について$\lambda (s) \mathbf{S} = \sum v^{i}(s)\mathbf{x}_{i}$としよう。

$\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}(\gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s))$として与えられたとしよう。そして$t$が十分小さいときの$\boldsymbol{\gamma}$の摂動$\boldsymbol{\alpha}(s ;t)$を以下のように考えよう。

$$ \boldsymbol{\alpha}(s ;t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s) + t v^{1}(s), \gamma^{2}(s) + t v^{2}(s) \right) $$

$\boldsymbol{\alpha}$は$\boldsymbol{\gamma}(c)$から$\boldsymbol{\gamma}(d)$への曲線であり、$\boldsymbol{\alpha}(s ; 0) = \boldsymbol{\gamma}(s)$である。$\boldsymbol{\alpha}(s; t)$の長さを$L(t)$としよう。

$$ L(t) = \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds $$

すると$\boldsymbol{\alpha}(s, 0) = \boldsymbol{\gamma}$で、$\boldsymbol{\gamma}$は最短距離曲線なので、$L(t)$は$t = 0$のとき最小値を持つ。また$L(0) \lt L(t^{\ast} \ne 0)$であるため、$L^{\prime}(0) = 0$である。一方で$L^{\prime}$を計算してみると、

$$ \begin{align*} L^{\prime}(t) =&\ \dfrac{d }{d t} \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds = \int_{c}^{d} \dfrac{\partial }{\partial t}\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds \\[1em] =&\ \int_{c}^{d} \dfrac{1}{2} \dfrac{2\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds = \int_{c}^{d}\dfrac{\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds \end{align*} $$

このとき$\boldsymbol{\gamma}$が単位速度曲線であるため、$t=0$のとき

$$ \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s} \right\rangle = 1 $$

したがって、

$$ L^{\prime}(0) = \int_{c}^{d} \left. \left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} ds $$

ここで$\dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s \partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle + \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle$なので、上記の式に代入すると、

$$ \begin{align*} L^{\prime}(0) =&\ \int_{c}^{d} \left. \dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} - \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \\[1em] =&\ \left[ \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} \right]_{c}^{d} - \int_{c}^{d}\left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \end{align*} $$

この時点で$\left. \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t} \right|_{t=0} = \sum v^{i}(s) \mathbf{x}_{i} = \lambda (s) \mathbf{S}$であるが、$\lambda (c) = \lambda (d)=0$であるため、第一項は$0$である。したがって、$\left. \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}}\right|_{t=0} = \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} = \kappa_{g}\mathbf{S} + \kappa_{n}\mathbf{n}$であり$L^{\prime}(0) = 0$であったので、

$$ \begin{align*} 0 = L^{\prime}(0) =&\ 0 - \int_{c}^{d} \left\langle \lambda (s) \mathbf{S}, \kappa_{g}(s) \mathbf{S} + \kappa_{n}(s) \mathbf{n} \right\rangle ds \\ =&\ -\int _{c}^{d} \lambda (s) \kappa_{g}(s) ds \end{align*} $$

しかし、この時点で$\lambda (s) \kappa_{g}(s) \gt 0$と仮定していたので、矛盾がある。

■