📂幾何学

回転面上の測地線

定理¹

$M$がunit-speed curveで生成された表面の回転だとしよう。そうすると、

(a) すべての経線は測地線である。

(b) 平行線が測地線になる条件は、平行線上のすべての点で$\mathbf{x}_{t}$が回転軸に平行であることだ。

$$\text{The circle of latitude is a geodesic.} \\ \iff \mathbf{x}_{t} \text{ is parallel to the axis of revolution at all point on the circle of latitude.}$$

説明

測地線が常にグローバルな最短距離の経路になるわけではないが、ローカルには最短距離の経路になることがある。

(b)は表面の回転の最も凸部または最も凹部でのみ、平行線が測地線になることを意味する。

証明

最初に、すべてのケースで共通に使用される部分を計算し、それぞれの場合に適用する。

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回転表面を$\mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos\theta, r(t)\sin\theta, z(t) \right)$とする。すると、2つの速度ベクトルは以下のようになる。

$$\mathbf{x}_{t}(t,\theta) = \mathbf{x}_{1} = \left( \dot{r}(t) \cos \theta, \dot{r}(t) \sin \theta, \dot{z}(t) \right)$$

$$\mathbf{x}_{\theta}(t, \theta) = \mathbf{x}_{2} = \left( -r(t) \sin\theta, r(t)\cos\theta , 0\right)$$

すると、リーマン計量の行列とその逆行列は以下のようになる。$\alpha$がunit-speed curveとされていたので、$\left| \dot{\alpha} \right|^{2} = \dot{r}^{2} + \dot{z}^{2} = 1$で

$$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle & \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle \\ \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle & \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{r}^{2} + \dot{z}^{2} & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix}$$

$$\left[ g_{ij} \right]^{-1} = [g^{lk}] = \dfrac{1}{r^{2}}\begin{bmatrix} r^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r^{2}} \end{bmatrix}$$

クリストッフェル記号

$$\Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{lk} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right)$$

$\left[ g_{ij} \right]$と$g^{lk}$は対角行列なので、上記のクリストッフェル記号の公式から$l=k$の時の項のみが残る。それぞれの$\Gamma_{ij}^{k}$を計算すると、以下のようになる。

$$\begin{align*} \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{1}{2}g^{11}\dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} = 0 \\ \Gamma_{12}^{1} =&\ \Gamma_{21}^{1} = \dfrac{1}{2}g^{11} \left( \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}}\right) = 0 \\ \Gamma_{22}^{1} =&\ \dfrac{1}{2} g^{11} \left( \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}} - \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{1}} + \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{2}}\right) = -\dfrac{1}{2} g^{11} \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{1}} = -\dfrac{1}{2} 1 \cdot \dfrac{\partial g_{22}}{\partial t} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial t}(r^{2}) = -r\dot{r} \\ \Gamma_{11}^{2} =&\ \dfrac{1}{2} g^{22} \left( \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} \right)=0 \\ \Gamma_{12}^{2} =&\ \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{1}{2} g^{22} \left( \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}} \right) = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^{2}} \dfrac{\partial}{\partial t}r^{2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^{2}} 2 r \dot{r} = \dfrac{\dot{r}}{r} \\ \Gamma_{22}^{2} =&\ \dfrac{1}{2} g^{22} \left( \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{2}} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{r^{2}} \dfrac{\partial}{\partial \theta}r^{2} = 0 \end{align*}$$

測地線の必要十分条件

unit-speed curve $\alpha (s) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(s), \alpha^{2}(s))$が測地線であるための必要十分条件は次の通りだ。

$$\alpha \text{ is geodesic} \iff (\alpha^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} {\Gamma _{ij}}^{k} (\alpha^{i})^{\prime} (\alpha^{j})^{\prime} = 0, \quad \forall k=1,2$$

$\alpha^{1}(s)=t(s), \alpha^{2}(s)=\theta (s)$であるため、回転表面上の曲線が測地線であるための必要十分条件は次の通りだ。

$k=1$の場合、

$$\begin{equation} (\alpha^{1})^{\prime \prime} + \Gamma_{22}^{1}(\alpha^{2})^{\prime}(\alpha^{2})^{\prime} = t^{\prime \prime} -r\dot{r}\theta^{\prime}\theta^{\prime}= 0 \end{equation}$$

$k=2$の場合、

$$\begin{equation} (\alpha^{2})^{\prime \prime} + 2\Gamma_{12}^{2}(\alpha^{1})^{\prime} (\alpha^{2})^{\prime} = \theta^{\prime \prime} + 2\dfrac{\dot{r}}{r} t^{\prime} \theta^{\prime} = 0 \end{equation}$$

(a)

経線 $\alpha$は表面上のパラメータ曲線なので、固定された$\theta_{0}$に対して以下の通りだ。

$$\alpha (s) = \mathbf{x}(t(s), \theta_{0}) = \left( r(t) \cos \theta_{0}, r(t)\sin\theta_{0}, z(t) \right),$$

この時、$\theta_{0}$は定数なので、$\theta^{\prime}=\theta^{\prime \prime}=0$が成り立ち$(2)$が満足される。$(1)$の条件は以下のように単純化される。

$$t^{\prime \prime} = 0$$

経線は$s=t$の場合なので、$t^{\prime} = \dfrac{dt}{dt} =1$と$t^{\prime \prime}=0$、そして$(1)$が満たされる。したがって、経線は測地線である。

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(b)

平行線は$t$が定数の場合であるので、$t^{\prime} = t^{\prime \prime} = 0$が成り立つ。まず、$\mathbf{x}(t, \theta)$表面の曲線$\alpha (\theta)$で$t$のみを固定した場合、それがunit-speed curveではないことを示す。

$$\alpha (\theta) = \left( r(t_{0}) \cos \theta, r(t_{0})\sin \theta, z(t_{0}) \right)$$

$$\left| \dfrac{d\alpha}{d\theta} \right| = \left| (-r(t_{0})\sin\theta, r(t_{0})\cos\theta, 0) \right| = r(t_{0})$$

したがって、$\alpha (s) = \mathbf{x}\left( t(s), \theta (s) \right)$で述べられたような再パラメータ化された平行線を考える。すると、unit-speed curveなので以下が成立する。

$$1 = \left| \alpha^{\prime}(s) \right|^{2} = \left| \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}t^{\prime} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta}\theta^{\prime} \right|^{2} = \left| \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta}\theta^{\prime} \right|^{2} = \left\langle \mathbf{x}_{\theta} , \mathbf{x}_{\theta} \right\rangle (\theta^{\prime})^{2} = g_{22} (\theta^{\prime})^{2}$$

$g_{22} = r^{2}$であったので、

$$1 = r^{2} (\theta^{\prime})^{2}$$

したがって$\theta^{\prime} \ne 0$であり、以下が成立する。

$$0 \ne \theta^{\prime} = \pm \dfrac{1}{r}$$

この時点で、平行線上の$r$は定数である。したがって、$\theta^{\prime \prime} = 0$が成立し、主に$(2)$は満たされる。$(1)$が成立するための必要十分条件は次の通りだ。

$$\begin{align*} (1) \text{ is hold.} \iff& \dot{r}=0 \\ \iff& \mathbf{x}_{t} = (\dot{r} \cos \theta, \dot{r}\sin\theta, \dot{z}) = (0,0,\dot{z}) \\ \iff& \mathbf{x}_{t} \text{ is parallel to } z- \text{axis.} \end{align*}$$

$(1)$が成立するということは、平行線が測地線であることを意味し、

$$\text{The circle of latitude is a geodesic.} \\ \iff \mathbf{x}_{t} \text{ is parallel to the axis of revolution at all point on the circle of latitude.}$$

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