logo

微分多様体上のイマージョンと埋め込み 📂幾何学

微分多様体上のイマージョンと埋め込み

定義1

Mm,NmM^{m}, N^{m}m,nm, n次元の微分多様体ϕ:MN\phi : M \to N微分可能な関数としよう。

  • 全ての点pMp \in Mでの微分dϕpd\phi_{p}が一対一関数ならば、ϕ\phiイマージョンimmersion, 没入と言う。

  • ϕ\phiがイマージョンであり、かつ同相ならば、ϕ\phiエンベディングembedding, imbeddingと言う。

  • 包含関数i:MNi : M \subset Nがエンベディングならば、MMNN部分多様体submanifoldと言う。

説明

定義によりϕ:MmNn\phi : M^{m} \to N^{n}がイマージョンならばmnm \le nであり、これらの差nmn-mをイマージョンϕ\phi余次元codimensionと言う。

全てのイマージョンは局所的にはエンベディングとなる。

2

微分可能ではない

α:RR2t(t,t) \begin{align*} \alpha : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^{2} \\ t &\mapsto (t, \left| t \right|) \end{align*}

α\alphat=0t=0で微分可能ではない。

微分可能だけど、イマージョンではない

α:RR2t(t3,t2) \begin{align*} \alpha : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^{2} \\ t &\mapsto (t^{3}, t^{2}) \end{align*}

α\alphaは全ての点で微分可能だ。しかし、微分を計算してみると、

dαt=[3t22t] d\alpha_{t} = \begin{bmatrix} 3t^{2} \\ 2t \end{bmatrix}

となるから、t=0t=0dα0=[00]d\alpha_{0} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}である。なので、一対一変換ではないため、α\alphaはイマージョンではない。

イマージョンだけど、エンベディングではない1

α:RR2t(t34t,t24) \begin{align*} \alpha : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^{2} \\ t &\mapsto (t^{3}-4t, t^{2}-4) \end{align*}

α\alphaは全ての点で微分可能で、dαt=[3t242t]d\alpha_{t} = \begin{bmatrix} 3t^{2}-4 \\ 2t \end{bmatrix}は全てのtt[00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}と等しくなく、だからイマージョンである。しかし、α(2)=(0,0)=α(2)\alpha (2)= (0,0) = \alpha (-2)だから、α\alphaは同相ではない。なので、α\alphaはエンベディングではない。

イマージョンだけど、エンベディングではない2

1.PNG

α:(3,0)R2 \alpha : (-3,0) \to \mathbb{R}^{2}

α(t)={(0,(t+2)),t(3,1)regular curve (see figure),t(1,1π)(t,sin1t),t(1π,0) \alpha (t) = \begin{cases} (0, -(t+2)), & t \in (-3, -1) \\ \text{regular curve (see figure)}, & t \in (-1, -\frac{1}{\pi}) \\ (-t, \sin\frac{1}{t}), & t \in (-\frac{1}{\pi}, 0) \end{cases}

この時、α(1π,0)\alpha (-\frac{1}{\pi}, 0)位相幾何学者のサイン曲線のグラフだ。与えられたα\alphaはイマージョンである。しかし、α1\alpha^{-1}を考えると、xx軸の座標が00に近づくにつれて、非常に速く振動するため、ある区間I\color{red}Iに対して、開集合UUを選べなくなる。なので、α\alphaはエンベディングではない。

エンベディング

R3\mathbb{R}^{3}曲面MMを考えよう。すると、座標チャートx:UR2M\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{2} \to Mはエンベディングとなる。

参照


  1. Manfredo P. Do Carmo Differential Geometry of Curves & Surfaces (Revised & Updated 2nd Edition, 2016), p438-442 ↩︎

  2. マンフレド・P・ド・カルモ, リーマン幾何学 (英語版、1992), p11-14 ↩︎