微分多様体上のイマージョンと埋め込み
📂幾何学微分多様体上のイマージョンと埋め込み
定義
Mm,Nmをm,n次元の微分多様体、ϕ:M→Nを微分可能な関数としよう。
全ての点p∈Mでの微分dϕpが一対一関数ならば、ϕをイマージョンimmersion, 没入と言う。
ϕがイマージョンであり、かつ同相ならば、ϕをエンベディングembedding, imbeddingと言う。
包含関数i:M⊂Nがエンベディングならば、MをNの部分多様体submanifoldと言う。
説明
定義によりϕ:Mm→Nnがイマージョンならばm≤nであり、これらの差n−mをイマージョンϕの余次元codimensionと言う。
全てのイマージョンは局所的にはエンベディングとなる。
例
微分可能ではない
α:Rt→R2↦(t,∣t∣)
αはt=0で微分可能ではない。
微分可能だけど、イマージョンではない
α:Rt→R2↦(t3,t2)
αは全ての点で微分可能だ。しかし、微分を計算してみると、
dαt=[3t22t]
となるから、t=0でdα0=[00]である。なので、一対一変換ではないため、αはイマージョンではない。
イマージョンだけど、エンベディングではない1
α:Rt→R2↦(t3−4t,t2−4)
αは全ての点で微分可能で、dαt=[3t2−42t]は全てのtで[00]と等しくなく、だからイマージョンである。しかし、α(2)=(0,0)=α(−2)だから、αは同相ではない。なので、αはエンベディングではない。
イマージョンだけど、エンベディングではない2

α:(−3,0)→R2
α(t)=⎩⎨⎧(0,−(t+2)),regular curve (see figure),(−t,sint1),t∈(−3,−1)t∈(−1,−π1)t∈(−π1,0)
この時、α(−π1,0)は位相幾何学者のサイン曲線のグラフだ。与えられたαはイマージョンである。しかし、α−1を考えると、x軸の座標が0に近づくにつれて、非常に速く振動するため、ある区間Iに対して、開集合Uを選べなくなる。なので、αはエンベディングではない。
エンベディング
R3の曲面Mを考えよう。すると、座標チャートx:U⊂R2→Mはエンベディングとなる。
参照