📂幾何学

微分幾何学における回転面

定義¹

$z$を与えられた軸の変数とし、$r>0$を$z-$軸からの距離とする。そうすると、下の図のような$rz-$平面上の曲線$\alpha$を考えることができる。

下の図のように、曲線$\alpha$を$z-$軸に対して回転させて得られた曲面を回転面^{surface of revolution}と呼ぶ。

回転面は次のように表される。

$$ \mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos \theta, r(t)\sin \theta, z(t) \right) $$

回転面の$t-$パラメトリック曲線を子午線^{meridian, 자오선}と呼び、$\theta-$パラメトリック曲線を緯度線^{circle of latitude, parallel}と呼ぶ。

説明

回転体と呼んでもコミュニケーションに大きな問題はないが、内部が空だから、厳密には回転体^{solid of revolution}ではない。

すべての子午線は測地線である。これとは異なり、緯度線が測地線になるためにはいくつかの条件が必要である。

定理

曲線$\alpha (t) = \left( r(t), z(t) \right)$が正則曲線であり、一対一である場合、$\alpha$によって形成された回転面$\mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos \theta, r(t)\sin \theta, z(t) \right)$は単純曲面である。この時$\theta$の条件は$-\pi \lt \theta \lt \pi$である。