📂幾何学

n次元微分可能多様体上の接空間はn次元ベクトル空間である

概要

$M$を$n$次元微分多様体、$T_{p}M$を点$p\in M$上の接空間だとしよう。接空間はベクトル空間になり、特に$n$次元ベクトル空間になる。以下の集合が接空間の基底になり、この事実は微分多様体を勉強する上で非常に役立つ。

$$ \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\} $$

定理1¹

$T_{p}M$は$\mathbb{R}-$ベクトル空間である。

証明

ベクトル空間になるための条件は以下のように十個があるが、その中からいくつかを証明しよう。

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$と$k, l \in \mathbb{F}$に対して、

(A1) $\mathbf{u}, \mathbf{v}$が$V$の要素なら$\mathbf{u}+\mathbf{v}$も$V$の要素である。

(A2) $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

(A3) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

(A4) $V$内の全ての$\mathbf{u}$に対して、$\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}$を満たす$\mathbf{0}$が$V$内に存在する。

(A5) $V$内の全ての$\mathbf{u}$に対して$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0}$を満たす$\mathbf{v}$が$V$内に存在する。

(M1) $\mathbf{u}$が$V$の要素なら$k \mathbf{u}$も$V$の要素である。

(M2) $k(\mathbf{u} + \mathbf{v})=k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$

(M3) $(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+ l\mathbf{u}$

(M4) $k(l\mathbf{u})=(kl)(\mathbf{u})$

(M5) $1\in \mathbb{F}$に対して、$1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

$\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M$としよう。$p$で微分可能な関数の集合を$\mathcal{D}$としよう。

$$ \mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\} $$

ベクトル空間になるためには、要素間の和とスカラー倍が定義されなければならない。和とスカラー倍を次のように定義しよう。

$$ (\mathbf{X} + \mathbf{Y}) (f) := \mathbf{X}f + \mathbf{Y}f \\ (r \cdot \mathbf{X}) (f) := r \cdot \mathbf{X}f,\quad r \in \mathbb{R} $$

(A1) $\mathbf{X}$と$\mathbf{Y}$がそれぞれ$\mathcal{D} \to \mathbb{R}$の関数であるため、$\mathbf{X}f, \mathbf{Y}f \in \mathbb{R}$である。二つの実数の和は実数であるため、$\mathbf{X} + \mathbf{Y} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$である。したがって、$\mathbf{X} + \mathbf{Y} \in T_{p}M$である。

(M1) $\mathbf{X}f \in \mathbb{R}$で$r \in \mathbb{R}$であるため、$r \cdot \mathbf{X} f \in \mathbb{R}$である。したがって、$r\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$であり、$r\mathbf{X} \in T_{p}M$である。

(A4) $\mathbf{0} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$を$\mathbf{0} f = 0 (\forall f \in \mathcal{D})$として定義しよう。すると、

$$ (\mathbf{X} + \mathbf{0})(f) = \mathbf{X}f + \mathbf{0}f = \mathbf{X}f $$

(A5) $-\mathbf{X}$を$(-\mathbf{X})(f) := (-1) \cdot \mathbf{X}f$として定義すると、(M1)によって$(-1)\mathbf{X} \in T_{p}M$であり、$\mathbf{X} + (-\mathbf{X}) = \mathbf{0}$が成り立つ。

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定理2

$T_{p}M$は$n$次元ベクトル空間である。特に、$\mathbf{x} : U \to M$を点$p \in M$に関する座標系としよう。すると、集合

$$ \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\} $$

は接空間$T_{p}M$の基底である。この時、$\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$は次のように定義される。

$$ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} f := \left. \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p},\quad f \in \mathcal{D} $$

$(u_{1}, \dots, u_{n})$は$\mathbb{R}$の座標である。

証明

基底の定義によれば、$\mathcal{B}$が線形独立であり、$T_{p}M$を生成することを示せばよい。

• パート1. 線形独立

  座標系$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$に対して、座標関数$x_{i} : M \to \mathbb{R}$は以下のようである。

  $$ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = p \\ \mathbf{x}^{-1}(p) = (x_{1}(p), \dots, x_{n}(p)) = (u_{1}, \dots, u_{n}) $$

  ここで、$f = x_{j}$とすると、

  $$ f \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j} \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j}(\mathbf{x}(\mathbf{u})) = x_{j}(p) = u_{j} $$

  したがって、

  $$ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = \left. \dfrac{\partial (x_{j} \circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p} = \dfrac{\partial u_{j}}{\partial u_{i}} = \delta_{ij} $$

  この時、$\delta_{ij}$はクロネッカーデルタである。

  方程式$c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} = \mathbf{0}$を見ると、全ての$i$に対して$c_{i} = 0$であれば線形独立である。任意の$x_{j}$を$1 \le j \le n$に代入すると、

  $$ 0 = \mathbf{0}(x_{j}) = c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = c_{i}\delta_{ij} = c_{j} $$

  したがって、全ての$j$に対して$c_{j} = 0$であり、他の解は存在しないことが分かる。したがって、$\mathcal{B}$は線形独立である。

• パート2. 生成

  $f \in \mathcal{D}$、$\mathbf{a} = \mathbf{x}^{-1} (p)$、$F = f \circ \mathbf{x}$としよう。すると$F : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$である。

  多変数関数に対するテイラーの定理

  $$ F(\mathbf{x}) = F(\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial x_{i}}(\mathbf{a})(x_{i} - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i} - a_{i}) (x_{j} - a_{j}) $$

  上記のテイラーの定理を$F$に適用すると、次が成り立つ。$m \in M$に対して、

  $$ \begin{align*} f(m) =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(m) = F ( \mathbf{x}^{-1}(m)) \\ =&\ F (\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{a})(x_{i}(m) - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x}^{-1}(m))(x_{i}(m) - a_{i}) (x_{j}(m) - a_{j}) \\ =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(p) + \sum_{i} \frac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{x}^{-1}(p)) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \\ =&\ f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \end{align*} $$

  したがって、$f$は以下のようなマッピングである。

  $$ f = f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right) $$

  これを接ベクトル$\mathbf{X}$に適用すると、

  $$ \mathbf{X}(f) = \mathbf{X}(f(p)) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum \mathbf{X}\left[ (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right) \right] $$

  接ベクトルは微分作用素として定義されるため、定数関数$c$に対して$\mathbf{X}(c) = 0$である。したがって、上記式の最初の項は$0$である。

  $$ \mathbf{X}_{p}(fg) = f(p)\mathbf{X}_{p}(g) + g(p)\mathbf{X}_{p}(f) $$

  したがって、もし$f(p)=g(p)=0$であれば、

  $$ \mathbf{X}_{p}(fg) = 0 $$

  また、$f = (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)$、$g=\left(x_{j}-a_{j}\right)$として上記の補題を適用すると、$x_{i}(p) = a_{i}$であるため、三番目の項も$0$であることが分かる。したがって、次を得る。

  $$ \begin{aligned} \mathbf{X}(f) =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(\mathbf{X}(x_{i}) - \mathbf{X}(a_{i})\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}(x_{i}) \\ =&\ \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \end{aligned} $$

  $$ \implies \mathbf{X} = \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} $$

  したがって、任意の$\mathbf{X}$が$\mathcal{B}$の線形結合で表されるため、$T_{p}M$は$\mathcal{B}$によって生成される。

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