📂幾何学

拡散幾何学における本質の定義

定義¹

微分幾何学では、(単位ノーマル $\mathbf{n}$に依存しないで) 第一基本形式の係数 $g_{ij}$のみに依存する関数を内在的^{intrinsic, 本質的}という。

説明^{2 3}

リーマンメトリックの係数 $g_{ij}$が分かっていれば、曲面を離れずに曲面上の曲線の長さや曲面の面積を以下のように計算できる。

$$\text{length of } \alpha = \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt = \int_{a}^{b} \sqrt{ E\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} + 2F\dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} + G\left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2}} dt$$

$$\text{area of } R = \iint _{Q} \sqrt{g} du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du_{1}du_{2}$$

これは曲面の外部に関する情報（例えば単位ノーマル $\mathbf{n}$）を使用せず、接平面の情報（第一基本形式の係数）のみを通じて求めることができるという意味を持つ。したがって、このように計算できるものを内在的という。

曲面 $M$を内在的な^intrinsic観点から見るというのは、$M$を全空間それ自体と考えるということであり、外在的な^extrinsic観点から見るというのは、$M \subset \R^{3}$のように$\R^{3}$の部分空間として考えるということである。

内在的なものの例は以下の通りである。

例

• クリストッフェル記号
• 測地曲率

参照

• 空間統計学での内在的空間プロセス