📂偏微分方程式

ノイマン境界条件

定義¹

開集合$\Omega$で定義された偏微分方程式が与えられたとしよう。次のような境界条件をノイマン境界条件^{Neumann boundary condition}と呼ぶ。ノイマン境界条件が与えられた偏微分方程式の解を探す問題をノイマン問題^{Neumann problem}という。

$$\dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega$$

この時$\nu$は外向き単位法線ベクトルを表す。

説明

非同次条件

次のような境界条件を非同次ノイマン条件^{nonhomogeneous Neumann condition}と呼ぶこともあるが、通常、同次か非同次かを厳密に記述することはない。

$$\dfrac{\partial u}{\partial \nu} = g \quad \text{on } \partial \Omega$$

例

例えばポアソン方程式でノイマン問題を解くことは、次を満たす$u$を見つけることだ。

$$\left\{ \begin{align*} -\Delta u = f & \quad \text{in } \Omega \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \quad \text{on }\partial \Omega \end{align*} \right.$$

参照

• 境界値問題
• ディリクレ境界条件
• ロビン境界条件