📂幾何学

単純曲面上の媒介変数曲線

定義^{1 2}

$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$を単純な表面としよう。$U$の座標を$(u, v)$としよう。ある点$(u_{0}, v_{0})$において、以下の曲線を$v = v_{0}$での$\mathbf{x}$の**$u-$パラメータ曲線**^{$u-$parameter curve}とする。

$$u \mapsto \mathbf{x}(u, v_{0})$$

以下のような曲線を$u = u_{0}$での$\mathbf{x}$の**$v-$パラメータ曲線**^{$v-$parameter curve}とする。

$$v \mapsto \mathbf{x}(u_{0}, v)$$

点$(u_{0}, v_{0})$での二つのパラメータ曲線の速度ベクトル$\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u} = \mathbf{x}_{u}=\mathbf{x}_{1}$、$\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial v} = \mathbf{x}_{v}=\mathbf{x}_{2}$を$(u_{0}, v_{0})$での$\mathbf{x}$の偏速度ベクトル^{partial velocity vector}とする。

説明

$U$の座標は$(u^{1}, u^{2})$としてもよく書かれるので、上で述べた二つの曲線をそれぞれ$u^{1}$曲線、$u^{2}$曲線ともいう。

定義により、表面$\mathbf{x}$はそのようなパラメータ曲線のファミリーによってカバーされていることがわかる。

これら二つのパラメータ曲線によって形成される格子を曲線座標系^{curvilinear coordinate system}という。球座標系や円筒座標系がこれに該当する。