📂偏微分方程式

偏微分方程式における境界値問題

定義

開集合$\Omega$で定義された偏微分方程式が与えられたとしよう。$\Omega$の境界である$\partial \Omega$で未知数$u$の値が与えられたとする。これを境界条件^{boundary condition}という。偏微分方程式と境界条件を合わせて境界値問題^{boundary value problem}という。

説明

略称のBVPがよく使われる。

境界値問題を解くとは、与えられた偏微分方程式で境界条件を満たす解$u$を見つけることを意味する。

例

• ディリクレ境界条件

  $$ u = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

• ノイマン境界条件

  $$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

  この時、$\nu$は外向き単位法線ベクトルだ。

• 混合ディリクレ-ノイマン境界条件^{mixed boundary conditions1}

  $\partial \Omega$が二つの異なる閉集合$\Gamma_{1}$、$\Gamma_{2}$を含む場合、

  $$ \begin{align*} u = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{1} \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{2} \end{align*} $$

• ロビン境界条件¹

  $$ u + \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

  関連項目

  • 初期値問題(IVP)