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偏微分方程式における境界値問題 📂偏微分方程式

偏微分方程式における境界値問題

定義

開集合Ω\Omegaで定義された偏微分方程式が与えられたとしよう。Ω\Omegaの境界であるΩ\partial \Omegaで未知数uuの値が与えられたとする。これを境界条件boundary conditionという。偏微分方程式と境界条件を合わせて境界値問題boundary value problemという。

説明

略称のBVPがよく使われる。

境界値問題を解くとは、与えられた偏微分方程式で境界条件を満たす解uuを見つけることを意味する。

  • ディリクレ境界条件

    u=0on Ω u = 0 \quad \text{on } \partial \Omega

  • ノイマン境界条件

    uν=0on Ω \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega

    この時、ν\nu外向き単位法線ベクトルだ。

  • 混合ディリクレ-ノイマン境界条件mixed boundary conditions1

    Ω\partial \Omegaが二つの異なる閉集合Γ1\Gamma_{1}Γ2\Gamma_{2}を含む場合、

    u=0on Γ1uν=0on Γ2 \begin{align*} u = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{1} \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{2} \end{align*}

  • ロビン境界条件1

    u+uν=0on Ω u + \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega

    関連項目


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p366 ↩︎ ↩︎