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リーマン計量を用いた計算の具体的な例 📂幾何学

リーマン計量を用いた計算の具体的な例

表記法

単純曲面 x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}において、(u,v)(u,v)をUUの座標としよう。

x1:=∂x∂uandx2:=∂x∂v \mathbf{x}_{1} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}\quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{2} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}

リーマン計量の係数を以下のように示そう。

gij= ⟨xi,xj⟩g11= ⟨x1,x1⟩=Eg12= g21=⟨x1,x2⟩=Fg22= ⟨x2,x2⟩=G \begin{align*} g_{ij} =&\ \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle \\ g_{11} =&\ \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle = E \\ g_{12} =&\ g_{21} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = F \\ g_{22} =&\ \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = G \end{align*}

例

曲線の長さ

U={(u,v):u2+v2<1}U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}としよう。単純曲面 x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}が以下のような半球として与えられたとする。

x(u,v)=(u,v,1−u2−v2) \mathbf{x}(u,v) = (u, v, \sqrt{1-u^{2}-v^{2}})

1.PNG

すると

xu=x1=(1,0,−u1−u2−v2)andxv=x2=(0,1,−v1−u2−v2) \mathbf{x}_{u} = \mathbf{x}_{1} = \left( 1, 0, \dfrac{-u}{\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}} \right) \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{v} = \mathbf{x}_{2} = \left( 0, 1, \dfrac{-v}{\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}} \right)

そしてu,vu, vが以下のようだとする。

α1(t)=u(t)=tandα2(t)=v(t)=t2 \alpha_{1}(t) = u(t) = t \quad \text{and} \quad \alpha_{2}(t) = v(t) = t^{2}

すると、0<t<5−120 \lt t \lt \sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}に従った各領域でのパスは以下のように示される。

2.PNG

1.gif

半球上の青い曲線の長さを計算する公式は以下の通りである。

∫abgijαi′αj′dt=∫abE(u′)2+2Fu′v′+G(v′)2dt \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt = \int_{a}^{b} \sqrt{ E(u^{\prime})^{2} + 2F u^{\prime} v^{\prime} + G(v^{\prime})^{2}}dt

それぞれを計算すると以下のようになる。

u′=1andv′=2t u^{\prime} = 1 \quad \text{and} \quad v^{\prime} = 2t

E= g11=⟨x1,x1⟩=1+u21−u2−v2=1−v21−u2−v2=1−t41−t2−t4F= g12=⟨x1,x2⟩=uv1−u2−v2=t31−t2−t4G= g22=⟨x2,x2⟩=1+v21−u2−v2=1−u21−u2−v2=1−t21−t2−t4 \begin{align*} E =&\ g_{11} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle = 1 + \dfrac{u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{1-v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{1-t^{4}}{1-t^{2}-t^{4}} \\ F =&\ g_{12} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = \dfrac{uv}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{t^{3}}{1-t^{2}-t^{4}} \\ G =&\ g_{22} = \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = 1 + \dfrac{v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{1-u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{1-t^{2}}{1-t^{2}-t^{4}} \end{align*}

したがって、曲線の長さは以下の通りである。

∫0(5−1)/2E(u′)2+2Fu′v′+G(v′)2dt= ∫0(5−1)/21−t41−t2−t4(1)2+2t31−t2−t4⋅1⋅2t+1−t21−t2−t4(2t)2dt= ∫0(5−1)/2−t4+4t2+11−t2−t4dt \begin{align*} & \int_{0}^{\sqrt{(\sqrt{5}-1) / 2}} \sqrt{ E(u^{\prime})^{2} + 2F u^{\prime} v^{\prime} + G(v^{\prime})^{2}}dt \\ =&\ \int_{0}^{\sqrt{(\sqrt{5}-1) / 2}} \sqrt{ \dfrac{1-t^{4}}{1-t^{2}-t^{4}}(1)^{2} + 2\dfrac{t^{3}}{1-t^{2}-t^{4}} \cdot 1 \cdot 2t + \dfrac{1-t^{2}}{1-t^{2}-t^{4}}(2t)^{2}}dt \\ =&\ \int_{0}^{\sqrt{(\sqrt{5}-1) / 2}} \sqrt{ \dfrac{-t^{4} + 4t^{2} +1}{1-t^{2}-t^{4}}}dt \end{align*}

■

曲面の面積

同じ状況で、Q={(u,v)∈U:0≤u,v<1}Q= \left\{ (u,v) \in U : 0\le u,v \lt 1 \right\}としよう。u,vu, vを極座標に変換すると、u=rcos⁡θ,v=rsin⁡θu = r\cos \theta, v = r\sin \thetaであるから、

xu=x1=(1,0,−u1−u2−v2)=(1,0,−rcos⁡θ1−r2)xv=x2=(0,1,−v1−u2−v2)=(1,0,−rsin⁡θ1−r2) \mathbf{x}_{u} = \mathbf{x}_{1} = \left( 1, 0, \dfrac{-u}{\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}} \right) = \left( 1, 0, \dfrac{-r\cos\theta}{\sqrt{1-r^{2}}} \right) \\ \mathbf{x}_{v} = \mathbf{x}_{2} = \left( 0, 1, \dfrac{-v}{\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}} \right) = \left( 1, 0, \dfrac{-r\sin\theta}{\sqrt{1-r^{2}}} \right)

E= g11=⟨x1,x1⟩=1−v21−u2−v2=1−r2sin⁡2θ1−r2F= g12=⟨x1,x2⟩=r2cos⁡θsin⁡θ1−r2G= g22=⟨x2,x2⟩=1−u21−u2−v2=1−r2cos⁡2θ1−r2 \begin{align*} E =&\ g_{11} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle = \dfrac{1-v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{1-r^{2}\sin^{2}\theta}{1-r^{2}} \\ F =&\ g_{12} = \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = \dfrac{r^{2}\cos\theta \sin\theta}{1-r^{2}} \\ G =&\ g_{22} = \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle = \dfrac{1-u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}} = \dfrac{1-r^{2}\cos^{2}\theta}{1-r^{2}} \end{align*}

曲面上の領域R=x(Q)R = \mathbf{x}(Q)の面積を計算する公式は以下の通りである。

∬Qgdudv=∬Q∣x1×x2∣dudv=∬QEG−F2dudv \iint _{Q} \sqrt{g} du dv = \iint _{Q} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| du dv = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du dv

RRは球面の18\dfrac{1}{8}に相当する領域なので、この積分値は4π8=π2\dfrac{4\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}でなければならない。極座標への変換時、ヤコビアンはrrであるから、dudv=rdrdθdudv=rdrd\thetaは、

∬QEG−F2dudv= ∫θ=0π/2∫r=01EG−F2rdrdθ= ∫θ=0π/2∫r=01(1−r2cos⁡2θ)(1−r2sin⁡2θ)−r4cos⁡2θsin⁡2θ1−r2rdrdθ= ∫θ=0π/2∫r=01−r2cos⁡2θ−r2sin⁡2θ+11−r2rdrdθ= ∫θ=0π/2dθ∫r=011−r21−r2rdr= π2∫r=01r1−r2dr= π2[−1−r2]01= π2 \begin{align*} & \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du dv \\ =&\ \int \limits_{\theta = 0}^{\pi / 2} \int \limits_{r=0}^{1} \sqrt{EG-F^{2}} rdr d\theta \\ =&\ \int \limits_{\theta = 0}^{\pi / 2} \int \limits_{r=0}^{1} \dfrac{\sqrt{(1-r^{2}\cos^{2}\theta)(1-r^{2}\sin^{2}\theta)-r^{4}\cos^{2}\theta \sin^{2}\theta}}{1-r^{2}} rdr d\theta \\ =&\ \int \limits_{\theta = 0}^{\pi / 2} \int \limits_{r=0}^{1} \dfrac{\sqrt{-r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta + 1}}{1-r^{2}} rdr d\theta \\ =&\ \int _{\theta = 0}^{\pi / 2}d\theta \int _{r=0}^{1} \dfrac{\sqrt{1- r^{2}}}{1-r^{2}} rdr \\ =&\ \dfrac{\pi}{2} \int _{r=0}^{1} \dfrac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}dr \\ =&\ \dfrac{\pi}{2} \left[ -\sqrt{1-r^{2}} \right]_{0}^{1} \\ =&\ \dfrac{\pi}{2} \end{align*}

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