📂幾何学

微分幾何学における曲面の定義

定義¹

$M \subset \R^{3}$という$P \in M$の全ての点に対して、イメージ$\mathbf{x}(U)$が$P$のある$\epsilon-$近傍$N_{p}$を含むようにする$C^{k}$ 微分同相写像$\mathbf{x} : U \subset \R^{2} \to M$が存在する場合、$M$を $\R^{3}$の$C^{k}$ 曲面^surfaceと呼ぶ。

さらに、そのような二つの微分同相写像 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$と$\mathbf{y} : V \to \R^{3}$に対して、

$$\mathbf{y}^{-1} \circ \mathbf{x} : \mathbf{x}^{-1}\left( \mathbf{x}(U) \cap \mathbf{y}(V) \right) \to \mathbf{y}^{-1}\left( \mathbf{x}(U) \cap \mathbf{y}(V) \right)$$

は$C^{k}$ 座標変換である。

説明

$\R^{3}$の曲面とは、端的に言えば、単純曲面のイメージをうまく合わせたものだ。

多くの定義がそうであるように、曲面かどうかを定義だけで判断することは簡単ではない。曲面を判定するにあたって、以下のような定理がある。

定理²

微分可能な関数$g : \R^{3} \to \R$と定数$c \in \R$が与えられたとする。集合$M = \left\{ (x,y,z) : g(x,y,z) = c \right\}$に対して、$M$のある点で

$$dg = \dfrac{\partial g}{\partial x}dx + \dfrac{\partial g}{\partial y}dy + \dfrac{\partial g}{\partial z}dz \ne 0$$

が成り立つなら、$M$は曲面である。