📂幾何学

微分同型写像

定義¹

$M_{1}, M_{2}$を微分多様体としよう。関数$\varphi : M_{1} \to M_{2}$が下記の条件を満たす場合、微分同相写像^{diffeomorphism[ディフィオモーフィズム]}と言う。

1. $\varphi$が微分可能である。
2. $\varphi$が全単射関数である。
3. $\varphi ^{-1}$が微分可能である。

点$p \in M_{1}$と$\varphi(p)$の近傍である$U$と$V$に対して、収縮写像$\varphi|_{U} : U \to V$が微分同相であれば、$\varphi$を局所微分同相写像^{local diffeomorphism}という。

定理

$M_{1}^{n}, M_{2}^{n}$を$n$次元の微分多様体としよう。$\phi : M_{1} \to M_{2}$を微分可能な関数とし、$p \in M_{1}$に対して$d\phi_{p} : T_{p}M_{1} \to T_{\phi (p)}M_{2}$が同型写像であるとする。すると$\phi$は$p$で局所微分同相写像である。

証明

逆関数定理により成立する。

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